Question

20．长为L的轻细绳，一端固定悬挂在铁架台上，另一端连接质量为m的小球，如图所示，小球从静止释放后，最大偏转角为θ
（1）请证明在θ较小时，单摆近似做简谐振动（空气阻力不计）
（2）用此单摆可以测量地球的重力加速度g，若摆线长为L，摆球直径为D，周期为T，其重力加速度g=$\frac{4{π}^{2}（L+\frac{1}{2}D）}{{T}^{2}}$．利用单摆的等时摆动，人们制成了摆钟．若地球上标准钟秒针转一周用时60s，将该钟拿到月球上时，秒针转一周与地球上147s时间相同（已知g_地=6g_月）．

Answer 1

分析 根据单摆的周期公式和数学知识得到重力加速度与T²-L图象斜率的关系．由单摆周期公式，求出重力加速度的表达式，写出重力加速度的表达式

解答 证明：（1）小球受力如图，回复力F=mgsinθ
θ较小时，sinθ≈θ=$\frac{OA}{L}=\frac{x}{L}$
（x为A点的位移）
F=$\frac{mgx}{L}$，方向F与x相反
∴F=-$\frac{mgx}{L}$  做简谐振动
（2）单摆的长度：l=L+$\frac{1}{2}$D
其周期为：T=$2π\sqrt{\frac{l}{g}}$
所以：重力加速度：g=$\frac{4{π}^{2}（L+\frac{1}{2}D）}{{T}^{2}}$
地球上标准钟秒针转一周用时60s，则在月球上，$T′=\sqrt{\frac{g}{g′}}T=\sqrt{6}T=60\sqrt{6}≈147$s
故答案为：$\frac{4{π}^{2}（L+\frac{1}{2}D）}{{T}^{2}}$，147

点评 常用仪器的读数要掌握，这是物理实验的基础．掌握单摆的周期公式，从而求解加速度，摆长、周期等物理量之间的关系．