Question

10．如图所示，长为l的轻绳一端系于固定点O，另一端系一质量为m的小球．现将小球从O点正下方$\frac{l}{4}$处以一定的初速度水平抛出，经过一定的时间，绳子被拉直．此后小球将以O为圆心在竖直平面内摆动．已知绳子刚好被拉直时，绳与竖直方向成60°角．求：
（1）小球水平抛出时的初速度v₀；
（2）小球摆到最低点时，绳子对小球的拉力F．

Answer 1

分析 （1）小球在绳被拉直前作平抛运动，由已知条件得到小球的水平位移和竖直高度，有平抛规律求解初速度
（2）由运动的分解求得绳子伸直时的速度，由机械能守恒得到运动到最低的时的速度，由牛顿第二定律求解此时绳子的拉力．

解答 解：（1）小球在绳被拉直前作平抛运动，设小球抛出后经时间t绳被拉直，则：
水平位移为：lsin60°=v₀t 
竖直高度为：lcos60°-$\frac{l}{4}$=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由此解得：t=$\sqrt{\frac{l}{2g}}$，v₀=$\sqrt{\frac{3}{2}gl}$
（2）在绳被拉直前瞬间，小球速度的水平分量为v₀，竖直分量为gt，速度大小为：
 v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+（gt）^{2}}$=$\sqrt{2gl}$
设速度与竖直方向的夹角为φ，则 tanφ=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{y}}$=$\frac{{v}_{0}}{gt}$=$\sqrt{3}$
所以，φ=60°
可见小球速度与绳沿同一线，小球动量在绳拉力的冲量作用下减为零，以后小球作摆动，设球摆动到最低点时速度为v，由机械能守恒定律可得：
  $\frac{1}{2}$mv²=mgl（1-cos60°）
设在最低点时绳子对物体的拉力为T，由牛顿第二定律得：
 T-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$
联立解得：T=2mg
答：
（1）小球水平抛出时的初速度为$\sqrt{\frac{3}{2}gl}$；
（2）小球摆到最低点时，绳所受拉力为2mg．

点评 本题关键是将小球的运动分为两个过程进行分析讨论：平抛运动过程，运用平抛运动位移公式、速度分解法则列式求解，之后由机械能守恒得到运动到最低的时的速度，由牛顿第二定律求解此时绳子的拉力．绳子伸直的瞬间，将导致物体机械能的损失，是比较难分析的，要格外注意．