Question

质点A沿直线以v_A=5m/s匀速运动，某时刻（t=0）在A后面与A相距△x=7.75m的质点B由静止开始起动，质点B运动方向与A一致，其加速度随时间周期性变化，加速度随时间变化的图象如图所示．求：
（1）质点B追上A之前两者间的最大距离；
（2）B出发后经多少时间追上A？

Answer 1

（1）质点B的速度为5m/s时，A、B之间的距离最大
设质点B速度达到5m/s若一直做匀加速，总共需要的时间为△t，
由运动学公式：△t=

vA

a

=2.5s
由质点B加速度与时间关系知，经过时间t₁=4.5s时，A、B之间的距离最大．
在时间t₁内质点A发生的位移x_A=v_At₁=22.5m，
质点B在第1s内的位移x1=

1

2

a

t

21

=1m
质点B在第2s内的位移x₂=at₁△T，式中△T=1s，代入数据得，x₂=2m．
质点B在第3s内的位移x3=at1△T+

1

2

a(△T)2=3m
质点B在第ns（n为整数）内的位移x_n=n（m）质点B在t₁时间内的位移xB=1+2+3+4+2a△T×0.5+

1

2

a×0.52(m)=12.25m
故A、B之间的最大距离△x_m=△x+x_A-x_B=18m．
（2）设经历时间t（t为正整数）B追上A时间t内A的位移x_A′=v_At
时间t内B的位移x_B′=1+2+…+t=

t(t+1)

2

x_B′=x_A′+△x，此式无整数解，但可求得10≤t≤11s，
10s内A发生的位移x_A1=v_A×10=50m，B发生的位移xB1=

10×11

2

(m)=55m，
故在10s后，B需比A多发生的位移△x′=△x+x_A1-x_B1=2.75m
设10s后需时间t′B追上A则5a△Tt′+

1

2

at′2-vAt′=2.75，
解得t′=0.5s
故B出发后需经过时间t_B=10+t′=10.5s追上A．
答：（1）质点B追上A之前两者间的最大距离为18m；
（2）B出发后经10.5s时间追上A．