Question

17．如图所示，半径为r、圆心为O₁的虚线所围的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，在磁场右侧有一坚直放置的平行金属板M和N，两板间距离为L，在MN板中央各有一个小孔O₂、O₃，O₁、O₂、O₃在同一水平直线上，与平行金属板相接的是两条竖直放置间距为L的足够长的光滑金属导轨，导体棒PQ与导轨接触良好，与阻值为R的电阻形成闭合回路（导轨与导体棒的电阻不计），该回路处在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，整个装置处在真空室中，有一束电荷量为+q、质量为m的粒子流（重力不计），以速率v₀从圆形磁场边界上的最低点E沿半径方向射入圆形磁场区域，最后从小孔O₃射出．现释放导体棒PQ，其下滑h后开始匀速运动，此后粒子恰好不能从O₃射出，而从圆形磁场的最高点F射出．求：
（1）圆形磁场的磁感应强度B′；
（2）棒下落h的整个过程中，电阻上产生的电热；
（3）粒子从E点到F点所用的时间．

Answer 1

分析 （1）粒子从E射入圆形磁场区域，从小孔O₃射出，在磁场中做匀速圆周运动，由几何知识求出半径，再由牛顿第二定律求出B．
（2）由于棒的电阻不计，导体棒两端的电压等于感应电动势．根据E=BLv公式，求出棒匀速运动时的速度，由能量守恒定律求得电阻上产生的电热．
（3）根据轨迹，逐段求出时间，再求总时间．

解答 解：（1）在圆形磁场中做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，由于粒子转过$\frac{1}{4}$圆周，所以轨迹半径等于圆形区域的半径r．
由牛顿第二定律得：
$qv{\;}_0B'=m•\frac{v_0^2}{r}$
得：$B'=\frac{{mv_0^{\;}}}{qr}$
（2）根据题意粒子恰好不能从O₃射出时到达O₃速度为零．则由能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}mv_0^2=q{U_{PQ}}$
PQ做匀速运动时，则有：
$Mg=B•\frac{U}{R}•L$
导体棒匀速运动时，速度大小为V_m，U_PQ=BLv_m
解得：$V{\;}_m=\frac{mv_0^2}{2qBL}$
由能量守恒：${Q_R}=Mgh-\frac{1}{2}MV_m^2$
解得：${Q_R}=\frac{BLmh}{2qR}v_0^2-\frac{{{m^3}v_0^6}}{{16gBLR{q^3}}}$
（3）粒子在圆形磁场内的运动时间为t₁，有：t₁=$2×\frac{T}{4}=\frac{πr}{{v}_{0}}$
粒子在电场中往返运动的时间为t₂，由 L=$\frac{{v}_{0}}{2}•\frac{{t}_{2}}{2}$得：${t}_{2}=\frac{4L}{{v}_{0}}$    
故粒子从E点到F点所用的时间为：t=t₁+t₂=$\frac{πr+4L}{{v}_{0}}$
答：（1）圆形磁场的磁感应强度B′为$\frac{m{v}_{0}}{qr}$；
（2）棒下落h的整个过程中，电阻上产生的电热为$\frac{BLmh}{2qR}{{v}_{0}}^{2}-\frac{{m}^{3}{{v}_{0}}^{6}}{16gBLR{q}^{3}}$；
（3）粒子从E点到F点所用的时间为$\frac{πr+4L}{{v}_{0}}$．

点评 粒子在磁场中运动的问题，关键是确定轨迹半径；导体棒导体切割类型，是电磁感应、电路与力学知识的综合，从力和能两个角度研究．