Question

（2003?肇庆模拟）高能物理在现代高科技活动中具有广泛的应用，如微观粒子的研究、核能的生产等．粒子加速器是实现高能粒子的主要途径．如图所示为一环形粒子加速器的示意图，图中实线所示为环形区域内存在垂直纸面向外的大小可调节的匀强磁场，质量为m、电量为q的带正电粒子在环中做半径为R的圆周运动．A、B为两块中心开有小孔的极板，原来电势都为零，每当粒子飞经A板时，A板的电势升高为+U，B板电势保持为零，粒子在电场中一次次被加速而动能不断增大，但绕行半径R始终保持不变．
（1）设t=0时，粒子静止在A板小孔处，在电场作用下开始加速、并绕行一圈．求粒子绕行n圈回到A板时获得的总动能？
（2）为使粒子始终保持在半径为R的圆轨道上运行，磁场必须周期性递增，求粒绕行第n圈时，磁感应强度B_n应为多少？
（3）求粒子绕行n圈所需的总时间t（粒子通过A、B之间的时间不计）
（4）若粒子通过A、B的时间不可忽略不计，请在右面的坐标系中定性画出A板电势随时间t变化的图象（要求从t=0起到粒子第三次离开B板时止．不要求计算具体的时间）

Answer 1

分析：（1）由题意可知，每加速一次，粒子的能量增加qU，粒子绕行n圈，动能增加nqU，根据动能定理求解粒子绕行n圈回到A板时获得的总动能；
（2）粒子的动能逐渐增加，速度就逐渐增加，由能量可表示出速度，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律即可求出第n圈时的磁感应强度B_n；．
（3）每圈的半径没有发生变化，由周长和每圈的速度即可求出每圈的时间，然后相累加，即可求得总时间t_n总．
（4）根据时间关系，画出A板电势随时间t变化的图象．

解答：解：（1）由动能定理可得：E_K=W=nqU
（2）由洛仑兹力公式和向心力公式可得：
  f=B_nqv
  f=m

v 2 n

R

则得B_nqv=m

v 2 n

R

由动能定理可得：m

v 2 n

2

=nqU
解得：B_n=

1

R

2nmU q

   
（3）由公式T=

2πR

v

=2π

m 2nqU

可得：t1=2πR

m 2qU

     tn=2πR

m 2nqU

=

1

n

t1
所以总时间：t=t₁+t₂+…+t_n=2πR

m 2qu

（1+

1

2

+…+

1

n

）
（4）A板电势随时间t变化的图象如图所示：
答：
（1）粒子绕行n圈回到A板时获得的总动能为nqU．
（2）粒绕行第n圈时，磁感应强度B_n应为

1

R

2nmU q

．
（3）粒子绕行n圈所需的总时间t为2πR

m 2qu

（1+

1

2

+…+

1

n

）．
（4）A板电势随时间t变化的图象如上图所示．

点评：粒子加速器是利用磁场的偏转，使电场能重复对粒子加速，粒子在加速器内旋转时半径是不变化的，所以粒子加速器所加的磁场时要发生变化．速度越来越大，周期越来越小．解决此类问题，常用到能量的转化与守恒、粒子在匀强磁场中的运动半径和周期公式．