Question

6．如图所示．有A、B两个行星绕同一恒星O做圆周运动，运转方向相同，A行星的周期为T₁，B行星的周期为T₂，在某一时刻两行星第一次相遇（即相距最近），若已知半径之比为R₁：R₂=1：4，则：
（1）A、B两个行星的周期之比是多少？
（2）行星A至少再经过多少个周期两颗行星相距最远？
（3）行星A至少再经过多少个周期两颗行星相距最近？

Answer 1

分析 （1）万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律求出卫星的周期，然后求出周期之比．
（2）两行星相距最远时，两行星应该在同一直径上，当A比B多转半圈时两行星相距最远．
（3）两行星相距最近时，两行星应该在同一半径方向上，当A比B多转一圈时两行星再次相距最近．

解答 解：（1）万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$r，解得：T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{R}_{1}^{3}}{{R}_{2}^{3}}}$=$\frac{1}{8}$；
（2）两行星相距最远时，两行星应该在同一直径上．所以当A比B多转半圈时两行星相距最远，列出等式：（$\frac{2π}{{T}_{1}}$-$\frac{2π}{{T}_{2}}$）t′=π，解得：t′=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{2}-{T}_{1}）}$；
（3）两行星相距最近时，两行星应该在同一半径方向上．所以当A比B多转一圈时两行星再次相距最近，列出等式：（$\frac{2π}{{T}_{1}}$-$\frac{2π}{{T}_{2}}$）t=2π，解得：t=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}}$；
答：（1）A、B两个行星的周期之比是1：8；
（2）行星A至少再经过$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{2}-{T}_{1}）}$个周期两颗行星相距最远；
（3）行星A至少再经过$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}}$个周期两颗行星相距最近．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，知道万有引力提供向心力，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题；解该题关键在于掌握A、B的角速度关系以及能根据转过的弧度的关系列出方程．