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    6．如图所示，“＜”型光滑长轨道固定在水平面内，电阻不计．轨道中间存在垂直水平面向下的匀强磁场，磁感应强度B．一根质量m、单位长度电阻R0的金属杆，与轨道成45°位置放置在轨道上，从静止起在水平拉力作用下从轨道的左端O点出发，向右做加速度大小为a的匀加速直线运动，经过位移L．求：
    （1）金属杆前进L过程中的平均感应电动势．
    （2）已知金属杆前进L过程中水平拉力做功W．若改变水平拉力的大小，以4a大小的加速度重复上述前进L的过程，水平拉力做功多少？
    （3）若改用水平恒力F由静止起从轨道的左端O点拉动金属杆，到金属杆速度达到最大值vm时产生热量．（F与vm为已知量）
    （4）试分析（3）问中，当金属杆速度达到最大后，是维持最大速度匀速直线运动还是做减速运动？

    分析 （1）根据法拉第电磁感应定律即可得到平均感应电动势；
    （2）根据安培力公式、欧姆定律和切割公式得到安培力的表达式，根据动能定理和运动学公式分别列式后联立求解；
    （3）改用水平恒力F，导体棒做加速运动，最后是匀速运动，根据平衡条件、安培力公式、欧姆定律和切割公式列式后联立求解得到最大速度，再根据动能定理列式求解即可．
    （4）先假设做匀速运动，然后依（3）的公式分析即可．

    解答 解：（1）由位移-速度公式得：2aL=v2-0
    所以前进L的速度为：v=$\sqrt{2aL}$，
    需时：t=$\frac{v}{a}=\frac{\sqrt{2aL}}{a}$
    由法拉第电磁感应定律有：$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{B△S}{△t}$=$\frac{B×\frac{1}{2}×2L×L}{\frac{\sqrt{2aL}}{a}}=B{L}^{2}•\sqrt{\frac{a}{2L}}$
    （2）以加速度a前进L时速度为v=$\sqrt{2aL}$
    合外力做功：W+W安=maL
    所以：W安=maL-W         
    同理，以加速度4a前进L时速度为：$v′=\sqrt{8aL}$=2v
    合外力做功：WF′+W安′=4maL
    由${F}_{A}=BIL=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$可知，位移相同时FA′=2FA，
    则前进L时，W安′=2W安
    所以：WF′=4maL-2W安=2W+2maL
    （3）设金属杆在水平恒力作用下前进d时FA=F，达到最大速度，由几何关系可知，接入电路的杆的有效长度为2d，则：
    ${F}_{A}=BIl=\frac{{B}^{2}×（2d）^{2}{v}_{m}}{{R}_{0}×2d}=F$        
    所以：d=$\frac{F{R}_{0}}{2{B}^{2}{v}_{m}}$   
    由动能定理有：$Fd-Q=\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
    所以：Q=Fd-$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$=$\frac{{F}^{2}{R}_{0}}{2{B}^{2}{v}_{m}}-\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
    （4）根据安培力表达式，假设维持匀速，速度不变而位移增大，则加速度一定会为负值，与匀速运动的假设矛盾．所以做减速运动． 
    答：（1）金属杆前进L过程中的平均感应电动势是$B{L}^{2}•\sqrt{\frac{a}{2L}}$．
    （2）以4a大小的加速度重复上述前进L的过程，水平拉力做功2W+2maL；
    （3）若改用水平恒力F由静止起从轨道的左端O点拉动金属杆，到金属杆速度达到最大值vm时产生热量是$\frac{{F}^{2}{R}_{0}}{2{B}^{2}{v}_{m}}-\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$．
    （4）当金属杆速度达到最大后，将做减速运动．

    点评 本题关键是明确导体棒的受力情况与运动情况，能够结合动能定理、安培力公式、法拉第电磁感应定律多次列式求解．

    练习册系列答案
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