Question

10．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，地球同步卫星周期为T₀．另有一颗轨道在赤道平面内绕地球自西向东运行的卫星，某时刻该卫星能观察到的赤道弧长最大为赤道周长的$\frac{1}{3}$．求：
（1）该卫星的周期．
（2）该卫星与地球同步卫星相邻两次经过地球赤道上同一点的正上空所需的时间．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力列出等式求解．
（2）卫星相邻两次经过地球赤道上某点的上空转过的角度之差为2π，由几何关系列出等式求解．

解答 解：（1）该卫星所观察地球赤道弧长为赤道周长的三分之一，
该圆弧对应的圆心角为120°，由几何关系知该卫星轨道半径为r=2R；
地球表面的物体受到的重力等于万有引力：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，
由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{（2R）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$•2R，
 解得：T=4π$\sqrt{\frac{2R}{g}}$；
（2）设该卫星相邻两次经过地球赤道上某点的上空所需的时间为t，
则：（$\frac{2π}{T}$-$\frac{2π}{{T}_{0}}$）t=2π，解得：t=$\frac{4π{T}_{0}\sqrt{\frac{2R}{g}}}{{T}_{0}-4π\sqrt{\frac{2R}{g}}}$；
答：（1）该卫星的周期为4π$\sqrt{\frac{2R}{g}}$．
（2）该卫星与地球同步卫星相邻两次经过地球赤道上同一点的正上空所需的时间为$\frac{4π{T}_{0}\sqrt{\frac{2R}{g}}}{{T}_{0}-4π\sqrt{\frac{2R}{g}}}$．

点评 本题难度中等，明确卫星相邻两次经过地球赤道上某点的上空转过的角度之差为2π，天体运动实际还是圆周运动，只是本类型题物理量较多，公式推导及其复杂．