Question

行星绕太阳沿椭圆轨道运行,它的近日点到太阳的距离为r,远日点到太阳的距离为R.若行星经过近日点的速度为v,求该行星经过远日点时的速度v′.

Answer 1

解析：不妨作出行星绕太阳沿椭圆轨道运行的示意图，结合开普勒第二定律与数学几何知识求解.

    如图5-1-3所示,分别以近日点A和远日点B为中心(太阳在C点)取一个极短时间Δt,行星与太阳连线扫过的面积如图中画有斜线的两个扇形的面积.由于Δt极短,因此可把这段时间内的行星运动看作匀速率运动,弧长 和B₁B₂可以用相应的弦长A₁A₂和代替,则

图5-1-3

A₁A₂≈=vΔt,

B₁B₂≈=v′Δt

两个扇形的面积分别为：

S_A1A2C=AC·A₁A₂=rvΔt

S_B1B2C=BC·B₁B₂=Rv′Δt

根据开普勒第二定律有：S_A1A2C=S_B1B2C，

即rvΔt=Rv′Δt

则行星经远日点B时的速度大小为v′=v.