Question

9．地球一昼夜的时间为T₀，万有引力常量为G．查资料知道．地球赤道上的重力加速度比北极附近的重力加速度约小0.5%．若把地球看作质量分布均匀的球体，引起重力加速度变化的原因是地球的自转．
（1）根据题中所给字母和数据估算地球的密度；
（2）大家都知道T₀=24h．若设想地球自转速度加快，在赤道上的物体会自动“漂浮”起来，求这时地球的自转周期．

Answer 1

分析 质量为m的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重力．根据万有引力定律和牛顿第二定律，在赤道的物体所受地球的引力等于其在两极所受的重力联立求解．

解答 解：（1）在两极，有：F_万=mg₀
在赤道处，由牛顿第二定律可得：${F}_{万}-mg=mR\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{0}}^{2}}$，
可得R=$\frac{（{g}_{0}-g）{{T}_{0}}^{2}}{4{π}^{2}}$，
在地球表面两极有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$，解得地球的质量M=$\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{G}$，
则地球的密度ρ=$\frac{M}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3π{g}_{0}}{G{{T}_{0}}^{2}（{g}_{0}-g）}$=$\frac{600π}{G{{T}_{0}}^{2}}$
（2）赤道上的物体恰好能飘起来，物体受到的万有引力恰好提供向心力，由牛顿第二定律可得：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T′}^{2}}$，
解得$T′=\sqrt{\frac{{g}_{0}-g}{{g}_{0}}}{T}_{0}$=$\sqrt{\frac{0.5%}{1}}×24h$≈1.7h．
答：（1）地球的密度为$\frac{600π}{G{{T}_{0}}^{2}}$
（2）这时地球的自转周期为1.7h．

点评 解答此题要清楚地球表面的物体受到的重力等于万有引力，根据万有引力定律和牛顿第二定律，地球近地卫星所受的万有引力提供向心力