Question

10．两块足够大的平行金属极板水平放置，极板间加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场，变化规律分别如图1、2所示（规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向）．在t=0时刻由负极板释放一个初速度为零的带负电的粒子（不计重力）．若电场强度E₀、磁感应强度B₀、粒子比荷$\frac{q}{m}$均已知，且t₀=$\frac{2πm}{qB}$，两板间距h=$\frac{10{π}^{2}m{E}_{0}}{q{{B}_{0}}^{2}}$
（1）求粒子在0～t₀时间内的位移大小与极板间距h的比值．
（2）求粒子在极板间做圆周运动的最小半径R₁与最大半径R₂（用h表示）．
（3）若板间电场强度E随时间的变化仍如图1所示，磁场的变化改为如图3所示，其中磁场方向在1.5t₀、3.5t₀、5.5t₀…周期性变化．试求出粒子在板间运动的时间（用t₀表示）．

Answer 1

分析 根据电场和磁场的变化，来对粒子在各个时间段内的受力分析是解决该题的关键，此题电场力和磁场力不是同时存在的，所以要分别对小球在电场力和磁场力作用下的运动进行分析，只在电场力作用时，粒子做加速直线运动，在只有洛伦兹力作用时，粒子做匀速圆周运动．
（1）在0～t₀时间，只有电场力，粒子做加速运动，可运用运动学公式和牛顿第二定律进行求解．
（2）经过${t}_{0}^{\;}$时间加速，粒子速度较小，粒子做匀速圆周运动的半径最小，粒子做匀速圆周运动一周，继续做匀加速直线运动，恰好又做了一个完整的圆周运动，再匀加速直线运动一段距离到达上极板，所以粒子第二次匀速圆周运动的半径最大，根据运动学公式求出最小半径和最大半径
（3）画出粒子的运动轨迹，分别求出匀加速直线运动的时间和匀速圆周运动的时间，求出总时间

解答 解：（1）粒子在0～t₀时间内：
${s}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$
$a=\frac{q{E}_{0}^{\;}}{m}$ 
得：$\frac{{s}_{1}^{\;}}{h}=\frac{1}{5}$
（2）粒子在t₀～2t₀时间内做匀速圆周运动，
运动速度${v}_{1}^{\;}=a{t}_{0}^{\;}=\frac{{E}_{0}^{\;}q{t}_{0}^{\;}}{m}$  
 且$q{v}_{1}^{\;}{B}_{0}^{\;}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}^{\;}}$
所以${R}_{1}^{\;}=\frac{h}{5π}$
又$T=\frac{2π{R}_{1}^{\;}}{{v}_{1}^{\;}}={t}_{0}^{\;}$所以粒子在t₀～2t₀时间内恰好完成一个完整的圆周运动，
粒子在2t₀～3t₀时间内做初速度为${v}_{1}^{\;}=a{t}_{0}^{\;}=\frac{{E}_{0}^{\;}q{t}_{0}^{\;}}{m}$的匀加速直线运动
有：${s}_{2}^{\;}={v}_{1}^{\;}{t}_{0}^{\;}+\frac{1}{2}\frac{{E}_{0}^{\;}q}{m}{t}_{0}^{2}=\frac{3}{5}h$
${v}_{2}^{\;}={v}_{1}^{\;}+\frac{{E}_{0}^{\;}q}{m}{t}_{0}^{\;}=\frac{2{E}_{0}^{\;}q}{m}{t}_{0}^{\;}$ 
粒子在3t₀～4t₀时间内，有$q{v}_{2}^{\;}{B}_{0}^{\;}=m\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}^{\;}}$
得：${R}_{2}^{\;}=2{R}_{1}^{\;}=\frac{2h}{5π}$
由于${s}_{1}^{\;}+{s}_{2}^{\;}+{R}_{2}^{\;}=\frac{h}{5}+\frac{3h}{5}+\frac{2h}{5π}＜h$，所以粒子在3t₀～4t₀时间内继续做一个完整的匀速圆周运动，在4t₀～5t₀时间内做匀加速直线运动出去
所以，粒子做圆运动的最大半径为${R}_{2}^{\;}=\frac{2h}{5π}$
粒子在板间运动的轨迹图如图甲所示
（3）粒子在板间运动的轨迹图如图乙所示
匀加速运动有：$h=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$  
得${t}_{1}^{\;}=\sqrt{5}{t}_{0}^{\;}$
圆周运动有：${t}_{2}^{\;}=2{t}_{0}^{\;}$
得总时间：$t=（\sqrt{5}+2）{t}_{0}^{\;}≈4.25{t}_{0}^{\;}$
答：（1）求粒子在0～t₀时间内的位移大小与极板间距h的比值$\frac{1}{5}$．
（2）求粒子在极板间做圆周运动的最小半径${R}_{1}^{\;}$为$\frac{h}{5π}$与最大半径${R}_{2}^{\;}$为$\frac{2h}{5π}$（用h表示）．
（3）粒子在板间运动的时间$4.25{t}_{0}^{\;}$（用t₀表示）．

点评 带点粒子在复合场中的运动本质是力学问题
1、带电粒子在电场、磁场和重力场等共存的复合场中的运动，其受力情况和运动图景都比较复杂，但其本质是力学问题，应按力学的基本思路，运用力学的基本规律研究和解决此类问题．
2、分析带电粒子在复合场中的受力时，要注意各力的特点，如带电粒子无论运动与否，在重力场中所受重力及在匀强电场中所受的电场力均为恒力，而带电粒子在磁场中只有运动 （且速度不与磁场平行）时才会受到洛仑兹力，力的大小随速度大小而变，方向始终与速度垂直，故洛仑兹力对运动电荷只改变粒子运动的方向，不改变大小．