Question

20．如图所示，固定光滑圆弧轨道AB，半径为R=0.8m，末端水平．水平画上质量为m₁=2kg、高H=0.4m的方凳紧靠在圆弧AB的末端，方凳上表面与圆弧相切．现有一个质量为m₂=2kg的滑块（视为质点）从A端由静止沿圆弧下滑，在B点滑上方凳，经过一段时间后从方凳右端滑落．已知：方凳与地面、滑块与凳面间的动摩擦因数分别为μ₁=0.2、μ₂=0.5；方凳从开始运动到停止运动，在水平面上运动的位移x=27cm．（取g=10m/s²）求：
（1）滑块滑上方凳时的速度；
（2）滑块与方凳分离时，方凳的速度；
（3）滑块刚落地时，滑块与方凳右端之间的距离（结果保留三位有效数字）．

Answer 1

分析 （1）滑块从A滑到B的过程，遵守机械能守恒，由机械能守恒定律可以求出滑块滑上方凳时的速度．
（2）滑块滑上方凳后，对方凳和滑块分别应用动能定理列式，可以求出滑块与方凳分离时方凳的速度．
（3）对方凳与滑块应用牛顿第二定律求出加速度，由运动学公式求出其位移

解答 解：（1）滑块从A滑到B的过程，机械能守恒，设滑块滑到B的速度v₀
则 m₂gR=$\frac{1}{2}$m₂v₀²，解得：v₀=4m/s
（2）方凳由静止开始做匀加速直线运动，直至滑块从其右端滑落，
设此段位移为x₁₁；然后做匀减速直线运动直至停止，
设此段位移为x₁₂，中间最大速度为v₁
依据动能定理有：
对方凳有：μ₂m₂g x₁₁-μ₁（m₁+m₂） g x₁₁=$\frac{1}{2}$m₁v₁²
对滑块有：-μ₁m₁ g x₁₂=-$\frac{1}{2}$m₁v₁²
由题意可知：x₁₁+x₁₂=x
解得：v₁=0.6m/s，x₁₁=0.18m，x₁₂=0.09m
（3）设滑块在凳面运动的时间为t₁，滑块从其右端滑落时的速度为v₂
对方凳：v₁=a₁t₁
μ₂m₂g-μ₁（m₁+m₂） g=m₁a₁
对滑块：v₀-v₂=a₂t₁
μ₂m₂g=m₂a₂
解得：v₂=1m/s
滑块从凳面滑落后做平抛运动，设时间为t₂，水平位移为x₂
则有：H=$\frac{1}{2}g{t}_{2}^{2}$
      x₂=x₂t₂
滑块落地后木块继续滑行 （0.3-t₂）s，设位移为x₁₃，加速度为a₃，
可得 a₃=μ₁g  x₁₃=$\frac{1}{2}$a₃（0.3-t₂）²
木凳不能撞到物块，则滑块与方桌右端之间的距离
x=x₂+x₁₃-x₁₂=0.193m
答：
（1）滑块滑上方凳时的速度为4m/s．
（2）滑块与方凳分离时，方凳的速度为0.6m/s．
（3）滑块刚落地时，滑块与方凳右端之间的距离为0.193m．

点评 本题是一道力学综合题，物体运动过程复杂，分析清楚物体的运动过程是正确解题的前提与关键，应用机械能守恒定律、动能定理、牛顿第二定律与运动学公式即可正确解题．