Question

8．如图所示，粗糙的斜面AB下端与光滑的圆弧轨道BCD相切与B，整个装置竖直放置，C是最低点，圆心角∠BOC=θ=37°，D与圆心O等高．圆弧轨道半径R=0.5m，斜面长L=2m．整个轨道除AB段以外都是光滑的．现有一个质量m=0.1kg的小物体以初速度v₀=4m/s，从某一高处水平抛出，到A点时速度方向恰沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下．已知物块与倾斜轨道的动摩擦因数μ=0.5．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）小物块的抛出点和A点的高度差；
（2）小物块第一次通过B、D点时的速度；
（3）物体第一次离开D点从空中又返回到圆轨道和斜面，在往复运动的过程中，物块通过C点处，轨道对物块的最小压力为多大？

Answer 1

分析 （1）小物体开始做平抛运动，经过A点时速度沿斜面向下，运用速度的分解法得到水平和竖直分速度的关系，求出竖直分速度，再由自由落体运动的规律求出抛出点和A点的高度差；
（2）根据动能定理求出小物块第一次通过B、D点时的速度；
（3）在往复运动的过程中，物体的机械能逐渐减小，最终在以B为最高点的圆弧上往复运动，由机械能守恒求出物块通过C点处的速度，由牛顿运动定律求出轨道对物块的最小压力．

解答 解：（1）设物块的抛出点和A点的高度差为h，到达A点时竖直方向的速度大小为v_y，由题意得：
tan37°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
解得：v_y=v₀tan37°
又v_y=$\sqrt{2gh}$
联立解得：h=0.45m
（2）物块到达A速度为：v_A=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=5m/s
从A到B，由动能定理得：
mgLsin37°-μmgcos37°•L=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得：v_B=$\sqrt{33}$m/s
从A到D，由动能定理得：
mgLsin37°-μmgcos37°•L-mgRcos37°=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得：v_D=5m/s
（3）物块最后在B与其等高的圆弧轨道上来回运动，经过C点的压力最小，由B到C的过程，由机械能守恒定律得：
mgR（1-cos37°）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
在C点，由牛顿第二定律得：
N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：N=1.4N
由牛顿第三定律得，物块通过C点处，轨道对物块的最小压力为：
N′=N=1.4N
答：（1）小物块的抛出点和A点的高度差是0.45m；
（2）小物块第一次通过B、D点时的速度分别为$\sqrt{33}$m/s和5m/s．
（3）物块通过C点处，轨道对物块的最小压力为1.4N．

点评 本题是多过程，关键要把握每个过程的物理规律和过程之间的关系，知道物块最后不是静止在C点，而是以C为中心做往复运动．