Question

【题目】如图所示，水平地面和半径R＝0.5 m的半圆轨道面PTQ均光滑，质量M＝1 kg、长L＝4 m的小车放在地面上，右端点与墙壁的距离为s＝3 m，小车上表面与半圆轨道最低点P的切线相平．现有一质量m＝2 kg的滑块(可视为质点)以v0＝6 m/s的水平初速度滑上小车左端，带动小车向右运动，小车与墙壁碰撞时即被粘在墙壁上．已知滑块与小车上表面的动摩擦因数μ＝0.2，取g＝10 m/s2.

(1)求小车与墙壁碰撞时滑块的速率；

(2)求滑块到达P点时对轨道的压力；

(3)若半圆轨道的半径可变但最低点P不变，为使滑块在半圆轨道内滑动的过程中不脱离轨道，求半圆轨道半径的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)4 m/s (2)68 N 竖直向下

(3)R≤0.24 m或R≥0.60 m

【解析】(1)滑块滑上小车后，小车将做匀加速直线运动，滑块将做匀减速直线运动，设滑块加速度为a1，小车加速度为a2，由牛顿第二定律得：

对滑块有－μmg＝ma1

对小车有μmg＝Ma2

当滑块相对小车静止时，两者速度相等，设小车与滑块经历时间t后速度相等，则有v0＋a1t＝a2t

滑块的位移s1＝v0t＋a1t2

小车的位移s2＝a2t2

代入数据得Δs＝s1－s2＝3 m＜L且s2＜s，说明小车与墙壁碰撞前滑块与小车已具有共同速度

故小车与墙壁碰撞时的速率为v1＝a2t＝4 m/s.

(2)设滑块到达P点时的速度为vP

－μmg(L－Δs)＝mv－mv

FN－mg＝

解得FN＝68 N

根据牛顿第三定律有滑块到达P点时对轨道的压力FN′＝FN＝68 N，方向竖直向下．

(3)若滑块恰能滑过半圆的最高点，设滑至最高点的速率为vQ，临界条件为：

mg＝m

－mg·2Rmax＝mv－mv

代入数据得Rmax＝0.24 m

若滑块恰好滑至1/4圆弧到达T点时速度为零，则滑块也能沿半圆轨道运动而不脱离半圆轨道，此时有：

－mgRmin＝0－mv

Rmin＝0.60 m

所以，若滑块在半圆轨道运动过程中不脱离半圆轨道，则半圆轨道的半径必须满足R≤0.24 m或R≥0.60 m.