Question

10．如图，在水平地面上有两物块甲和乙，它们的质量分别为2m、m，甲与地面间无摩擦，乙与地面间的动摩擦因数为μ．现让甲物块以速度v₀向着静止的乙运动并发生正碰，试求：
（1）甲与乙第一次碰撞过程中系统的最小动能；
（2）若甲在乙刚停下来时恰好与乙发生第二次碰撞，则在第一次碰撞中系统损失了多少机械 能？
（3）若甲乙两物体第二次发生弹性碰撞，求碰后它们的速度．

Answer 1

分析 （1）甲与乙碰撞过程中系统动能最小时出现在两物体速度相等的时刻；根据动量守恒定律求出相等的速度，再由能量守恒定律求最小的动能．
（2）在乙刚停下时甲追上乙碰撞，因此两物体在这段时间平均速度相等，由动量守恒定律求出第一次碰撞后两球各自的速度，根据能量的转化与守恒求解系统损失了多少机械能．
（3）若甲乙两物体第二次发生弹性碰撞，系统的动量和动能均守恒，由此列式求解．

解答 解：（1）碰撞过程中系统动能最小时，为两物体速度相等时，设此时两物体速度均为v，取碰撞前甲的速度方向为正方向，由系统动量守恒有：
  2mv₀=3mv
得：v=$\frac{2}{3}$v₀，
此时系统的最小动能：E_kmin=$\frac{1}{2}$•3m•v²=$\frac{2}{3}$mv₀²；
（2）设第一次碰撞刚结束时甲、乙的速度分别为v₁、v₂，之后甲做匀速直线运动，乙以v₂初速度做匀减速直线运动，在乙刚停下时甲追上乙碰撞，因此两物体在这段时间平均速度相等，有：v₁=$\frac{{v}_{2}}{2}$
而第一次碰撞中系统动量守恒有：2mv₀=2mv₁+mv₂，
由以上两式可得：v₁=$\frac{{v}_{0}}{2}$，v₂=v₀，
所以第一次碰撞中的机械能损失为：
△E=$\frac{1}{2}$•2m•v₀²-$\frac{1}{2}$•2m•v₁²-$\frac{1}{2}$•m•v₂²=$\frac{1}{4}$mv₀²
（3）若甲乙两物体第二次发生弹性碰撞，设碰撞后，甲、乙的速度分别为v₃、v₄，根据动量守恒定律和动能守恒得：
  2mv₁=2mv₃+mv₄，
  $\frac{1}{2}$•2m•v₁²=$\frac{1}{2}$•2m•v₃²+$\frac{1}{2}$•m•v₄²；
解得 v₃=$\frac{1}{16}{v}_{0}$，v₄=$\frac{2}{3}{v}_{0}$
答：（1）甲与乙第一次碰撞过程中系统的最小动能为$\frac{2}{3}$mv₀²；
（2）若甲在乙刚停下来时恰好与乙发生第二次碰撞，则在第一次碰撞中系统损失的机械能为$\frac{1}{4}$mv₀²．
（3）若甲乙两物体第二次发生弹性碰撞，碰后它们的速度分别为$\frac{1}{16}{v}_{0}$和$\frac{2}{3}{v}_{0}$．

点评 本题综合考查了动量守恒定律、能量守恒定律，关键要掌握碰撞的基本规律：动量守恒定律，明确弹性碰撞过程遵守两大守恒定律：动量守恒定律和机械能守恒定律．