Question

14．假设宇宙中有两颗相距无限远的行星A和B，自身球体半径分别为R_A和R_B．两颗行星各自周围的卫星的轨道半径的三次方（r³）与运行公转周期的平方（T²）的关系如图所示；T₀为卫星环绕各自行星表面运行的周期．则（　　）

• A． 行星A的质量小于行星B的质量
• B． 行星A的密度小于行星B的密度
• C． 行星A的第一宇宙速度等于行星B的第一宇宙速度
• D． 当两行星周围的卫星的运动轨道半径相同时，行星A的卫星的向心加速度大于行星B的卫星的向心加速度

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，得出卫星的周期与行星的质量、半径之间的关系，然后进行比较；结合万有引力提供向心力，分别写出第一宇宙速度的表达式，然后比较它们的大小关系．

解答 解：A、根据万有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
解得：T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{GM}}$，
对于环绕行星A表面运行的卫星，有：
${T}_{0}=\sqrt{\frac{4{π}^{2}{{R}_{A}}^{3}}{G{M}_{A}}}$…①
对于环绕行星B表面运行的卫星，有：
${T}_{0}=\sqrt{\frac{4{π}^{2}{{R}_{B}}^{3}}{G{M}_{B}}}$…②
联立①②得：$\frac{{{R}_{A}}^{3}}{{M}_{A}}=\frac{{{R}_{B}}^{3}}{{M}_{B}}$…③
由图知，R_A＞R_B，所以M_A＞M_B，故A错误．
B、A行星质量为：M_A=${ρ}_{A}•\frac{4}{3}π{{R}_{A}}^{3}$
B行星的质量为：${M}_{B}={ρ}_{B}•\frac{4}{3}π{{R}_{B}}^{3}$，
代入③得：$\frac{{{R}_{A}}^{3}}{{ρ}_{A}•\frac{4}{3}π{{R}_{A}}^{3}}=\frac{{{R}_{B}}^{3}}{{ρ}_{B}•\frac{4}{3}π{{R}_{B}}^{3}}$
解得：ρ_A=ρ_B，故B错误．
C、行星的近地卫星的线速度即第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{G•ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}}{R}}$=$\sqrt{\frac{4}{3}Gρπ}R$∝R，因为R_A＞R_B，所以v_A＞v_B，故C错误．
D、根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=ma$知，a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，由于M_A＞M_B，行星运动的轨道半径相等，则行星A的卫星的向心加速度大于行星B的卫星的向心加速度，故D正确．
故选：D．

点评 本题考查考生从图象获取信息的能力，万有引力提供圆周运动向心力，掌握万有引力和向心力的表达式并能灵活运用是正确解题的关键．