Question

9．如图1所示的坐标系内，在x₀（x₀＞0）处有一垂直工轴放置的挡板．在y轴与挡板之间的区域内存在一个与xoy平珏垂直且指向纸内的匀强磁场，磁感应强度B=0.2T．位于坐标原点O处的粒子源向xoy平面内发射出大量同种带正电的粒子，所有粒子的初速度大小均为v_o=1.0×10⁶m/s，方向与x轴正方向的夹角为θ，且0≤θ≤90°．该粒子的比荷为$\frac{q}{m}$=1.0×10⁸C/kg，不计粒子所受重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上后均被挡板吸收．

（1）求粒子在磁场中运动的轨道半径R：
（2）如图2所示，为使沿初速度方向与x轴正方向的夹角θ=30°射出的粒子不打到挡板上，则x₀必须满足什么条件？该粒子在磁场中运动的时间是多少？
（3）若x₀=5.0×10^-2m，求粒子打在挡板上的范围（用y坐标表示），并用“”图样在图3中画出粒子在磁场中所能到达的区域：

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中由洛伦兹力充当向心力做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律求出轨道半径．
（2）粒子恰好不打到挡板上，其运动轨迹与挡板相切，画出轨迹，由几何知识求出x₀，即可得到x₀满足的条件．根据粒子轨道对应的圆心角θ，由公式t=$\frac{θ}{2π}$T求出时间．
（3）若x₀=5.0×10^-2m，画出粒子的运动轨迹，由几何知识求出粒子打在挡板上的范围

解答 解：（1）由牛顿第二定律得$qvB=m\frac{v_0^2}{R}$
$R=\frac{{m{v_0}}}{qB}$=5.0×10^-2m
（2）如图所示，设粒子的运动轨迹恰与挡板相切，由几何关系得：x₀=R+Rsinθ
X₀=7.5×10^-2m
为使该粒子不打到挡板上，x₀≥7.5×10^-2m
粒子在磁场中运动的周期为T
T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{Bq}$=π×10^-7s
该粒子在磁场中运动的时间$t=\frac{{\frac{4}{3}π}}{2π}T$=$\frac{2}{3}T$=$\frac{2}{3}π×{10^{-7}}s$

（3）若x₀=5.0×10^-2m，则x₀=R
当粒子沿着-y方向入射时，将打在挡板上的A点
其纵坐标y_A=-R=500×10^-2m
当粒子沿着+x方向入射时，粒子的运动轨迹恰好与挡板相切于B点
其纵坐标y_B=R=5.0×10^-2m
则粒子打在挡板上的范围为-500×10^-2m≤y＜5.0×10^-2m
粒子在磁场中所能到达的区域如图所示
答：
（1）粒子在磁场中运动的轨道半径R是5.0×10^-2m；
（2）为使该粒子不打到挡板上，x₀≥7.5×10^-2 m，该粒子在磁场中运动的时间是$\frac{2}{3}π×1{0}^{-7}s$．
（3）粒子打在挡板上的范围为-5.0×10^-2 m≤y＜5.0×10^-2 m

点评 本题的解题关键是画出轨迹，运用几何知识求出相关的距离，确定圆心角，求解粒子运动的时间