Question

两个质量不计的弹簧将一金属块支在箱子的上顶板与下底板之间，箱子只能沿竖直方向运动，如图2所示.两弹簧原长均为x₀=0.80m，劲度系数均为k=60N/m.当箱以2.0m/s²的加速度匀减速上升时，上弹簧的长度为x_１=0.70m，下弹簧的长度为x_２=0.60m.若上顶板压力是下底板压力的四分之一，试判断箱的运动情况.（g取10m/s²）

Answer 1

见试题分析

【试题分析】

设箱的质量为m.当箱以2m/s²的加速度匀减速上升时，根据胡克定律可得，上弹簧中的弹力为
F_１=k（x_０-x_１）=60×（0.80-0.70）N=6.0N， 下弹簧中的弹力为F_２=k（x_０-x_２）=60×（0.80-0.60）N=12.0N，  此时箱受重力mg、上弹簧向下的弹力F_１和下弹簧向上的弹力F_２作用，如图3所示.

规定竖直向下为正方向，由题知a=2.0m/s²，对箱由牛顿第二定律得
mg+F_１-F_２=ma
所以m=kg=0.75kg.
箱运动过程两弹簧总长x_总=x_１+x_２=0.70m+0.60m=1.30m保持不变.
当上顶板压力是下板压力的四分之一时，设上弹簧的压缩量为Δx_１，下弹簧的压缩量为Δx_２，则由题知Δx_２=4Δx_１，且2x_０-Δx_１-Δx_２=x_总，即2x_０-Δx_１-4Δx_１=x_总，解之可得Δx_１=0.06m.
根据胡克定律可得，上弹簧中的弹力为F_１′=kΔx_１=60×0.06N=3.6N，下弹簧中的弹力为F_２′=4F_１′=14.4N，  此时箱受重力mg、上弹簧向下的弹力F_１′和下弹簧向上的弹力F_２′作用，如图4所示.

规定竖直向上为正方向，由牛顿第二定律得
F_２′-mg-F_１′=ma′
所以a′=（F_２′-mg-F_１′）/m=（14.4-0.75×10-3.6）/0.75=4.4（m/s²）.
可知箱的加速度为4.4m/s²，方向和规定正方向相同即竖直向上，所以箱以4.4m/s²的加速度匀加速上升或匀减速下降.