如图所示.电阻不计的足够长光滑平行金属导轨与水平面夹角为θ.导轨间距为l.轨道所在平面的正方形区域如耐内存在着有界匀强磁场.磁感应强度大小为B.方向垂直于导轨平面向上．电阻相同.质量均为m的两根相同金属杆甲和乙放置在导轨上.甲金属杆恰好处在磁场的上边界处.甲.乙相距也为l．在静止释放两金属杆的同时.对甲施加一沿导轨平面且垂直甲金属杆的外力.使甲在沿� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

10．

如图所示，电阻不计的足够长光滑平行金属导轨与水平面夹角为θ，导轨间距为l，轨道所在平面的正方形区域如耐内存在着有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面向上．电阻相同、质量均为m的两根相同金属杆甲和乙放置在导轨上，甲金属杆恰好处在磁场的上边界处，甲、乙相距也为l．在静止释放两金属杆的同时，对甲施加一沿导轨平面且垂直甲金属杆的外力，使甲在沿导轨向下的运动过程中始终以加速度a=gsinθ做匀加速直线运动，金属杆乙剐进入磁场时即做匀速运动．
（1）求金属杆的电阻R；
（2）若从释放金属杆时开始计时，试写出甲金属杆在磁场中所受的外力F随时间t的变化关系式；
（3）若从开始释放两金属杆到金属杆乙刚离开磁场的过程中，金属杆乙中所产生的焦耳热为Q，求外力F在此过程中所做的功．

分析金属杆由静止做匀加速直线运动，运动l后，进入磁场时即做匀速运动．由平衡条件可求，安培力进而求得电流、电阻，由牛顿第二定律，可求外力，由焦耳定律可求
金属杆乙中所产生的焦耳热，由能量守恒定律可求外力的功．

解答解：（1）在乙尚未进入磁场中的过程中，甲、乙的加速度相同，设乙刚进入磁场时的速
v²=2ax 且 a=gsinθ
即 v=$\sqrt{2glsinθ}$
乙刚进入磁场时，对乙由根据平衡条件得$mgsinθ=\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{2R}$
$R=\frac{{B}^{2}{l}^{2}\sqrt{2glsinθ}}{2mgsinθ}$
（2）甲在磁场中运动时，由牛顿第二定律可知，外力F大小始终等于安培力火小即：$F=\frac{{{B^2}{l^2}v}}{2R}$
v=（gsinθ）t
解得 $F=\frac{m{g}^{2}si{n}^{2}θ}{\sqrt{2glsinθ}}t$
方向沿导轨平面并垂直金属杆甲向下
（3）设乙从释放到刚进入磁场过程中做匀加速直线运动所需要的时间为t₁
l=$\frac{1}{2}（gsinθ）t_1^2$
${t_1}=\sqrt{\frac{2l}{gsinθ}}=\frac{l}{gsinθ}\sqrt{2glsinθ}$
设乙从进入磁场过程至刚离开磁场的过程中做匀速直线运动所需要的时间为t2
l=vt₂
${t_2}=\frac{l}{{\sqrt{2glsinθ}}}=\frac{1}{2gsinθ}\sqrt{2glsinθ}$
设乙离开磁场时，甲的速度v′
v′=（gsinθ）（t₁+t₂）=$\frac{3}{2}\sqrt{2glsinθ}$
设甲从开始释放至乙离开磁场的过程中的位移为x
$x=\frac{1}{2}（gsinθ）{（{t_1}+{t_2}）^2}=\frac{9}{4}l$
根据能量转化和守恒定律得：$mgxsinθ+mg•2lsinθ+{W_F}=2Q+\frac{1}{2}m{v^2}+\frac{1}{2}m{v'^2}$
W_F=2Q-mglsinθ
答：（1）金属杆的电阻$R=\frac{{B}^{2}{l}^{2}\sqrt{2glsinθ}}{2mgsinθ}$；
（2）甲金属杆在磁场中所受的外力F随时间t的变化关系式$F=\frac{mg2sin2θ}{\sqrt{2glsinθ}}t$；
（3）外力F在此过程中所做的功为2Q-mglsinθ

点评本题考查了电磁感应定律，闭合电路欧姆定律的综合应用，要注意能量守恒的应用；在学习中要注意训练能量守恒的应用方法．

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