Question

9．一热气球体积为V，内部充有温度为T_a的热空气，气球外冷空气的温度为T_b．已知空气在1个大气压、温度为T₀时的密度为ρ₀，该气球内、外的气压始终都为1个大气压，重力加速度大小为g．
（i）求该热气球所受浮力的大小；
（ii）求该热气球内空气所受的重力；
（iii）设充气前热气球的质量为m₀，求充气后它还能托起的最大质量．

Answer 1

分析 （i）根据浮力的公式计算浮力的大小，此时的关键是计算外界的气体密度；
（ii）根据G=ρVg计算重力，关键是计算气球内部的空气密度；
（iii）根据平衡条件分析充气后能托起的最大质量．

解答 解：（i）设1个大气压下质量为m的空气在温度为T₀时的体积为V₀，密度为
${ρ}_{0}=\frac{m}{{V}_{0}}$
设温度为T的体积为V_T，密度为
ρ（T）=$\frac{m}{{V}_{T}}$
由盖-吕萨克定律得
$\frac{{V}_{0}}{{T}_{0}}=\frac{{V}_{T}}{T}$
联立可得：ρ（T）=${ρ}_{0}\frac{{T}_{0}}{T}$
气球受到的浮力为f=ρ（T_b）gV
联立可得：f=$\frac{{ρ}_{0}gV{T}_{0}}{{T}_{b}}$；
（ii）根据ρ（T）=${ρ}_{0}\frac{{T}_{0}}{T}$可得ρ（T_a）=${ρ}_{0}\frac{{T}_{0}}{{T}_{a}}$，气球内空气的重力为G=ρ（T_a）gV=$\frac{{T}_{0}}{{T}_{a}}{ρ}_{0}$gV；
（iii）气球要漂浮在空气中，则气球总重力等于冷空气的浮力，假如还能托起的最大质量为m则
F=m₀g+G+mg
所以m=$\frac{{ρ}_{0}V{T}_{0}}{{T}_{b}}$-$\frac{{ρ}_{0}V{T}_{0}}{{T}_{a}}$-m₀
答：（i）气球受到的浮力为：$\frac{{T}_{0}}{{T}_{b}}{ρ}_{0}$gV；
（ii）气球内空气的重力为$\frac{{T}_{0}}{{T}_{a}}{ρ}_{0}$gV；
（iii）能托起的最大质量为$\frac{{ρ}_{0}V{T}_{0}}{{T}_{b}}$-$\frac{{ρ}_{0}V{T}_{0}}{{T}_{a}}$-m₀．

点评 本题考查了理想气体的特点和平衡问题．对于这种问题，心理上不要惧怕，从一些重要的知识点入手，应用相应的公式即可求解．