Question

如图（1）所示，
两足够长平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为0.8m，导轨平面与水平面夹角为α，导轨电阻不计．有一个匀强磁场垂直导轨平面斜向上，长为1m的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨电接触良好，金属棒的质量为0.1kg、与导轨接触端间电阻为1Ω．两金属导轨的上端连接右端电路，电路中R₂为一电阻箱．已知灯泡的电阻R_L=4Ω，定值电阻R₁=2Ω，调节电阻箱使R₂=12Ω，重力加速度g=10m/s²．将电键S打开，金属棒由静止释放，1s后闭合电键，如图（2）所示为金属棒的速度随时间变化的图象．求：
（1）斜面倾角α及磁感应强度B的大小；
（2）若金属棒下滑距离为60m时速度恰达到最大，求金属棒由静止开始下滑100m的过程中，整个电路产生的电热；
（3）改变电阻箱R₂的值，当R₂为何值时，金属棒匀速下滑时R₂消耗的功率最大；消耗的最大功率为多少？

Answer 1

分析：（1）电键S打开，ab棒做匀加速直线运动，由速度图象求出加速度，由牛顿第二定律求解斜面的倾角α．开关闭合后，导体棒最终做匀速直线运动，由F_安=BIL，I=

BLvm

R总

得到安培力表达式，由重力的分力mgsinα=F_安，求出磁感应强度B．
（2）金属棒由静止开始下滑100m的过程中，重力势能减小mgSsinα，转化为金属棒的动能和整个电路产生的电热，由能量守恒求解电热．
（3）改变电阻箱R₂的值后，由金属棒ab匀速运动，得到干路中电流表达式，推导出R₂消耗的功率与R₂的关系式，根据数学知识求解R₂消耗的最大功率．

解答：解：（1）电键S打开，从图上得：a=gsinα=

△v

△t

=5m/s²
得 sinα=

1

2

，则得α=30°
金属棒匀速下滑时速度最大，此时棒所受的安培力F_安=BIL，
又 I=

BLvm

R总

，R总=Rab+R1+

R2RL

R2+RL

=(1+2+

4×12

4+12

)Ω=6Ω，
从图上得：v_m=18.75m/s，
由平衡条件得：mgsinα=F_安，所以mgsinα=

B2L2vm

R总

得：B=

mgsinα?R总 Vm?L2

=

0.1×10× 1 2 ×6 18.75×0.82

T=0.5T；         
（2）由动能定理：mg?S?sinα-Q=

1

2

mvm2-0
得  Q=mg?S?sinα-

1

2

mvm2=32.42J；                            
（3）改变电阻箱R₂的值后，金属棒匀速下滑时的速度为v_m′，则有
mgsinα=BI_总L，R并′=

R2RL

R2+RL

=(

4R2

4+R2

)Ω，
R₂消耗的功率：P₂=

U 2 并

R2

=

(I总R并′)2

R2

=

( mgsinα BL ?R并′)2

R2

=(

mgsinα

BL

)2?

( 4R2 4+R2 )2

R2

=(

mgsinα

BL

)2×

16R2

16+8R2+R22

=(

mgsinα

BL

)2×

16

16 R2 +8+R2

当R₂=4Ω时，R₂消耗的功率最大：
P_2m=(

mgsinα

BL

)2×

16

16 R2 +8+R2

=

25

16

W=1.5625W．              
答：
（1）斜面倾角α是30°，磁感应强度B的大小是0.5T；
（2）若金属棒下滑距离为60m时速度恰达到最大，金属棒由静止开始下滑100m的过程中，整个电路产生的电热是32.42J；
（3）改变电阻箱R₂的值，当R₂为4Ω时，金属棒匀速下滑时R₂消耗的功率最大，消耗的最大功率为1.5625W．

点评：本题是电磁感应中的力学问题，由速度图象求得加速度，推导安培力与速度的表达式是关键步骤，难点是运用数学知识分析R₂消耗的功率何时最大．