Question

10．两颗离得很近的恒星称为双星，这两颗星必须以一定角速度绕某一中心转动，才不至于由于万行引力作用而吸引在一起．已知质量分别为m₁、m₂，相互之间的距离为L，试求出：
（1）这两颗星转动中心的位置距m₁的距离；
（2）这两颗星的转动周期．

Answer 1

分析 双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，周期相同，向心力大小相等，结合万有引力提供向心力求出这两颗星转动中心的位置距m₁的距离以及周期的大小．

解答 解：（1）根据万有引力提供向心力有：$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{1}$，
$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（L-{r}_{1}）$，
则有：m₁r₁=m₂（L-r₁）．
解得${r}_{1}=\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}L$．
（2）根据$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{1}$，$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（L-{r}_{1}）$，
代入r₁，联立解得T=$2π\sqrt{\frac{{L}^{3}}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$．
答：（1）这两颗星转动中心的位置距m₁的距离为$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}L$；
（2）这两颗星的转动周期为$2π\sqrt{\frac{{L}^{3}}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$．

点评 这道题充分体现了利用双星系统的特点来解题的思路．双星特点：1．绕同一中心转动的角速度和周期相同．2．由相互作用力充当向心力，向心力相同．