Question

5．深秋的一天大雾，甲、乙两列火车，在同一轨道上同向行驶，甲车在前，其速度v_甲=36km/h，乙车在后，速度v_乙=108km/h，因大雾能见度低，乙车在距甲车x₀=80m时才发现前方有甲车，这时乙车立即刹车，但乙车要经过225m才能停下来，求：
（1）若乙车刹车时甲车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？
（2）若乙车在刹车的同时发出信号，甲车司机经过t=4s收到信号后加速前进，则甲车的加速度至少多少才能避免相撞？

Answer 1

分析 （1）甲乙两车在同轨道上同向行驶，甲车在前做匀速运动，而乙车在距甲车80m时才发现前方有甲车，这时乙车立即刹车，做匀减速运动．甲车若按原速度前进，则做匀速直线运动，由公式算出刹车的加速度大小．通过速度相等时求出甲乙两车的位移关系即可判断是否会相撞；
（2）当乙车在刹车的同时发出信号后乙车做匀减速运动，甲车收到信号4.0s后才加速前进．由速度公式表示出相遇但不相撞的速度关系，由两车的位移表示出两车的位移关系，最终确定甲车的加速度多大时才能避免事故．

解答 解：36km/h=10m/s                108km/h=30m/s
（1）乙车匀减速直线运动的加速度a=$\frac{{v}_{乙}^{2}}{2x}=\frac{3{0}_{\;}^{2}}{2×225}=2m/{s}_{\;}^{2}$，
两车速度相等经历的时间${t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{乙}^{\;}-{v}_{甲}^{\;}}{a}$=$\frac{30-10}{2}=10s$，
此时乙车的位移${x}_{乙}^{\;}={v}_{乙}^{\;}{t}_{1}^{\;}-\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}=30×10-\frac{1}{2}×2×1{0}_{\;}^{2}$=200m，
甲车的位移x_甲=v_甲t₁=10×10m=100m，
因为${x}_{乙}^{\;}＞{x}_{甲}^{\;}+{x}_{0}^{\;}$，知两车会相撞．
（2）设A车司机收到信号后以加速度a_A加速前进，两车恰相遇不相撞应满足速度关系：
v_A=v_B 即：30-2t=10+a_A（t-4）
位移关系s_B=s_A+x₀
即：30t-$\frac{1}{2}×2{t}_{\;}^{2}$=80+10×4+10（t-4）+$\frac{1}{2}{a}_{A}^{\;}（t-4）_{\;}^{2}$
解得：${a}_{A}^{\;}=2.5m/{s}_{\;}^{2}$．
答：（1）A车若按原速前进时，两车会相撞；
（2）A车的加速度至少为2.5m/s²才能避免相撞事故．

点评 本题是物体做匀减速、匀速及匀加速相综合的应用，不论是什么运动，它们的运动时间是相同的，所以有的根据速度相同来求出位移，有的根据位移关系来确定速度大小．该题也可用相对运动的知识来解决．