Question

3．如图所示，MN和PQ是两根放在竖直面内且足够长的平行金属导轨，相距l=50cm导轨处在垂直纸面向里的磁感应强度B=5T的匀强磁场中．一根电阻为r=0.1Ω的金属棒ab可紧贴导轨左右运动．两块平行的、相距d=10cm、长度L=20cm的水平放置的金属板A和C分别与两平行导轨相连接，图中跨接在两导轨间的电阻R=0.4Ω，其余电阻忽略不计．已知当金属棒ab不动时，质量m=10g、带电量q=1×10^-3C的小球以某一速度v₀沿金属板A和C的中线射入板间，恰能射出金属板（g取10rn/s²）．求：

（1）小球的速度v₀；
（2）若使小球在金属板间不偏转，则金属棒ab的速度大小和方向；
（3）若要使小球能从金属板间射出，则金属棒ab匀速运动的速度应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）当金属棒ab不动时，小球在金属板间做平抛运动，根据水平位移和竖直位移，由运动学公式即可求得初速度v₀．
（2）若使小球在金属板间不偏转，小球在金属板间受力必须平衡，电场力应竖直向上，小球带负电，可判断出电容器极板的电性，由右手定则判断出金属棒ab的运动方向．根据欧姆定律得到板间电压与感应电动势的关系，对于小球，根据平衡条件列式，求解即可．
（3）若要使小球能从金属板间射出，可能从上板边缘射出，也可能从下板边缘射出，运用运动的分解，由牛顿第二定律和运动学公式结合求出金属棒ab匀速运动的速度范围．

解答 解：（1）根据题意，小球在金属板间做平抛运动，水平位移为金属板长L=20cm，竖直位移等于$\frac{d}{2}$=5cm
根据平抛运动规律有：$\frac{d}{2}$=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$=$\frac{1}{2}g（\frac{L}{{v}_{0}}）^{2}$
得 v₀=L$\sqrt{\frac{g}{d}}$=0.2×$\sqrt{\frac{10}{0.1}}$=2m/s
（2）欲使小球不偏转，须小球在金属板间受力平衡，根据题意应使金属棒ab切割磁感线应产生感应电动势，从而使金属板A、C带电，在板间产生匀强电场，小球所受电场大小等于小球的重力．
由于小球带负电，电场力向上，所以电场方向向下，A板必须带正电，金属棒ab的a点应为感应电动势的正极，根据右手定则，金属棒ab应向右运动
设金属棒ab的速度为V₁，则：E=BLv₁
金属板A、C间的电压：U=$\frac{BL{v}_{1}}{R+r}$•
金属板A、C间的电场 E_场=$\frac{U}{d}$
小球受力平衡：qE_场=mg
联立以上各式解得：v₁=$\frac{mg（R+r）d}{qBLR}$=$\frac{10×1{0}^{-3}×10×（0.4+0.1）×0.1}{1×1{0}^{-3}×5×0.5×0.4}$=5m/s
（3）当金属棒ab的速度增大时，小球所受电场力大于小球的重力，小球将向上做类平抛运动，设金属棒ab的速度达到v₂，小球恰A金属板右边缘飞出．
根据小球运动的对称性，小球沿A板右边缘飞出和小球沿C板右边缘飞出，其运动加速度相同，
故有：qE_场-mg=mg
根据上式中结果得到：v₂=2$\frac{mg（R+r）d}{qBLR}$=2v₁=10m/s
所以若小球能射出金属板间，则金属棒ab的速度大小：0≤v≤10m/s，方向向右．
答：
（1）小球的速度v₀为2m/s．
（2）若使小球在金属板间不偏转，则金属棒ab的速度大小为5m/s，向右运动．
（3）若要使小球能从金属板间射出，则金属棒ab匀速运动的速度应满足0≤v≤10m/s，方向向右．

点评 本题是平抛运动、电磁感应和类平抛运动、电路的综合，类平抛运动、平抛运动的研究方法相似：运动的合成和分解．但要注意加速度的区别，类平抛运动的加速度不是g，应根据牛顿第二定律求出．