Question

11．如图，水平转盘可绕竖直轴OO′以角速度ω匀角速转动，在转盘上沿直径方向开个沟槽，质量为2m的小物块A与质量为m的小物块B，用长为L的轻绳连接放在沟槽内，并分居于圆心的两侧；A与槽的摩擦不计，B只与槽底存在摩擦，滑动摩擦因数为μ=$\frac{3}{2}$$\frac{{ω}^{2}L}{g}$，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力．
（1）当B与圆盘中心的距离为$\frac{L}{3}$时，两物块可保持与圆盘一起转动，并保持相对静止，求此时物块B受到的摩擦力大小与方向；
（2）若用x表示B与圆盘中心的距离，要保证两物块可保持与圆盘一起转动，并保持相对静止，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设绳子的拉力为T，分别对A和B进行受力分析，结合牛顿第二定律即可求出摩擦力的大小和方向；
（2）设B与圆盘中心的距离为x，结合摩擦力指向圆心和背离圆心两种情况进行讨论，即可得出x的范围．

解答 解：（1）设A、B间轻绳的拉力大小为T，对A受力分析可知其向心力只T提供，有：
T=$2m•{ω}^{2}•\frac{2}{3}L$…①
对B受力分析，可知其向心力由T和摩擦力f提供，有：
T-f=$m{ω}^{2}•\frac{1}{3}L$…②
解得：f=mω²L，方向背离圆心…③
（2）假设B与圆盘中心的距离为x₁时，摩擦力仍背离圆心，且恰好将要相对滑动
有：${T}_{1}-μmg=m{ω}^{2}{x}_{1}$…④
对A有：${T}_{1}=2m{ω}^{2}（L-{x}_{1}）$…⑤
解得：x₁=$\frac{1}{6}L$…⑥
若假设B与圆盘中心的距离为x₂时，摩擦力指向圆心，且恰好将要相对滑动
有：${T}_{2}+μmg=m{ω}^{2}{x}_{2}$…⑦
对A有：${T}_{2}=2m{ω}^{2}（L-{x}_{2}）$…⑧
解得：x₂=$\frac{7}{6}L$…⑨
考虑到两物块需要分居于圆心两侧，x取值需满足：$\frac{1}{6}L≤x≤L$
答：（1）当B与圆盘中心的距离为$\frac{L}{3}$时，两物块可保持与圆盘一起转动，并保持相对静止，此时物块B受到的摩擦力大小是mω²L，方向背离圆心；
（2）x的取值范围是$\frac{1}{6}L≤x≤L$．

点评 解决本题的关键是找出向心力的来源，知道AB两物体是由摩擦力和绳子的拉力提供向心力，难度不大，属于中档题目．