Question

12．从宏观现象中总结出来的经典物理学规律不一定都能适用于微观体系．但是在某些问题中利用经典物理学规律也能得到与实际比较相符合的结论．
例如，玻尔建立的氢原子模型，仍然把电子的运动看做经典力学描述下的轨道运动．他认为，氢原子中的电子在库仑力的作用下，绕原子核做匀速圆周运动．已知电子质量为m，电荷为e，静电力常量为k，氢原子处于基态时电子的轨道半径为r₁．
（1）氢原予处于基态时，电子绕原子核运动，可等效为环形电流，求此等效电流值．
（2）在微观领域，动量守恒定律和能量守恒定律依然适用．
 a．己知光在真空中的速度为c，氢原子在不同能级之间跃迁时，跃迁前后可认为质量不变，均为m．设氢原子处于基态时的能量为E₁（E₁＜O），当原子处于第一激发态时的能量为$\frac{{E}_{1}}{4}$，求原子从第一激发态跃迁到基态时，放出光子的能量和氢原子的反冲速度．
b．在轻核聚变的核反应中，两个氚核（${\;}_{1}^{2}$H）以相同的动能E_o=0.35MeV做对心碰撞，假设该反应中释放的核能全部转化为氦核（${\;}_{2}^{3}$He）和中子（${\;}_{0}^{1}$n）的动能．已知氘核的质量m_D=2.0141u，中子的质量m_n=1.0087u，氦核的质量M_He=3.0160u，其中1u相当于931MeV．在上述轻核聚变的核反应中生成的氦核和中子的动能各是多少MeV（结果保留1位有效数字）？

Answer 1

分析 （1）根据库仑力提供向心力，结合电流表达式I=$\frac{e}{T}$，即可求解；根据动能表达式，结合电势能，即可求解能量；
（2）a．先求出放出光子的能量，根据P=$\frac{E}{hc}$求出光子的动量，根据动量守恒定律求出氢原子的动量，再根据P=mv求解氢原子的速度；
b．由爱因斯坦的质能方程，结合能量与动量守恒，即可求解．

解答 解：（1）电子绕原子核做匀速圆周运动，有：$k\frac{{e}^{2}}{{{r}_{1}}^{2}}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$
$T=\frac{2π{r}_{1}}{{v}_{1}}$
解得：$T=\frac{2π}{e}\sqrt{\frac{m{{r}_{1}}^{3}}{k}}$
电子绕原子核运动的等效电流为：$I=\frac{e}{T}$
解得：$I=\frac{{e}^{2}}{2π}\sqrt{\frac{k}{m{{r}_{1}}^{3}}}$
（2）a．放出光子的能量$E=\frac{{E}_{1}}{4}-{E}_{1}=-\frac{3}{4}{E}_{1}$（E₁＜O），
光子的动量p=${P}_{1}=\frac{E}{hc}=-\frac{3{E}_{1}}{4hc}$．
设氢原子的动量为P₁，根据动量守恒定律可知，
P₁+P=0
解得：P₁=$\frac{3{E}_{1}}{4hc}$
则反冲速度$v=\frac{{P}_{1}}{m}=\frac{3{E}_{1}}{4mhc}$
b．由爱因斯坦的质能方程，核聚变反应中释放的核能为：△E=△mc²
解得：△E=3.3MeV
核反应中系统的能量守恒有：E_kHe+E_kn=2E₀+△E
核反应中系统的动量守恒有：p_He-p_n=0
由${E}_{k}=\frac{{P}^{2}}{2m}$可知：$\frac{{E}_{KHe}}{{E}_{Kn}}=\frac{{m}_{n}}{{m}_{He}}$
解得：${E}_{KHe}=\frac{{m}_{n}}{{m}_{n}+{m}_{He}}（{2E}_{0}+△E）$=1MeV
${E}_{Kn}=\frac{{m}_{He}}{{m}_{n}+{m}_{He}}（{2E}_{0}+△E）$=3MeV
答：（1）氢原予处于基态时，电子绕原子核运动，可等效为环形电流，此等效电流值为$\frac{{e}^{2}}{2π}\sqrt{\frac{k}{m{{r}_{1}}^{3}}}$．
（2）a．原子从第一激发态跃迁到基态时，放出光子的能量为$-\frac{3}{4}{E}_{1}$，氢原子的反冲速度为$\frac{3{E}_{1}}{4mhc}$；
b．轻核聚变的核反应中生成的氦核和中子的动能分别是1MeV与3MeV

点评 考查库仑定律、万有引力定律的内容，掌握牛顿第二定律的应用，理解能量守恒与动量守恒的表达式，及质能方程的内容，注意正确的符号运算也是解题的关键．