Question

6．据报道，“嫦娥三号”将于2013年下半年择机发射，如果嫦娥三号卫星在地球表面的重力为G₁，在月球表面的重力为G₂，已知地球半径为R₁，月球半径为R₂，地球表面处的重力加速度为g，忽略地球自转对计算的影响，求：
（1）嫦娥三号卫星在月球表面轨道上做匀速圆周运动的周期T_月；
（2）月球的质量与地球的质量之比；
（3）月球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比．

Answer 1

分析 根据重力提供向心力计算第一宇宙速度，在计算比值．忽略星球自转，根据重力等于万有引力计算星球的质量之比．

解答 解：（1）如果嫦娥三号卫星在地球表面的重力为G₁，在月球表面的重力为G₂，地球表面处的重力加速度为g，
嫦娥三号质量m=$\frac{{G}_{1}}{g}$
嫦娥三号卫星在月球表面轨道上做匀速圆周运动，根据重力提供向心力得
G₂=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}_{月}^{2}}$R₂，
T_月=$\sqrt{\frac{{{{4π}^{2}G}_{1}R}_{2}}{{gG}_{2}}}$，
（2）忽略星球自转，根据重力等于万有引力得
M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$
月球的质量与地球的质量之比$\frac{{M}_{1}}{{M}_{2}}$=$\frac{{{G}_{2}R}_{2}^{2}}{{{G}_{1}R}_{1}^{2}}$，
（3）根据万有引力等于向心力得
第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{gR}$
月球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为$\frac{\sqrt{{{G}_{2}R}_{2}}}{\sqrt{{{G}_{1}R}_{1}}}$，
答：（1）嫦娥三号卫星在月球表面轨道上做匀速圆周运动的周期是$\sqrt{\frac{{{{4π}^{2}G}_{1}R}_{2}}{{gG}_{2}}}$；
（2）月球的质量与地球的质量之比是$\frac{{{G}_{2}R}_{2}^{2}}{{{G}_{1}R}_{1}^{2}}$；
（3）月球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比是$\frac{\sqrt{{{G}_{2}R}_{2}}}{\sqrt{{{G}_{1}R}_{1}}}$．

点评 本题主要要掌握重力等于万有引力、万有引力提供向心力这两个基本思路，要能根据题目的要求选择恰当的向心力的表达式．