Question

15．用你所学的物理规律和方法试证明：
（1）在匀变速直线运动中，物体经过t 时间速度由v₀变为v_t，则这段时间中点处的瞬时速度v${\;}_{\frac{t}{2}}$=$\frac{{v}_{0}+{v}_{t}}{2}$
（2）做匀变速直线运动的物体在任意两个连续相等的时间内的位移差为定值．设加速度为a，连续相等时间为T，位移差为△x，则△x=aT²．

Answer 1

分析 （1）根据匀变速直线运动的位移时间关系式分别对两过程列式，然后做差整理；
（2）主要训练公式 v=v₀+at，同时对结论性的规律加强记忆．

解答 证明：（1）设加速度为a，根据匀变速直线运动的速度与时间关系式可得
前$\frac{t}{2}$时间内：${V}_{\frac{t}{2}}^{\;}$=v₀+$\frac{1}{2}$at
后$\frac{t}{2}$时间内：v=${V}_{\frac{t}{2}}^{\;}$+$\frac{1}{2}$at
两式联立，消去$\frac{1}{2}$at，可得
${V}_{\frac{t}{2}}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}+v}{2}$．
（2）如图

设物体做匀变速直线运动到A点的速度为V_A，加速度为a，相邻的时间间隔为T，
则由位移时间关系式：${x}_{1}^{\;}={v}_{A}^{\;}T+\frac{1}{2}a{T}_{\;}^{2}$  ①
${x}_{2}^{\;}={v}_{B}^{\;}T+\frac{1}{2}a{T}_{\;}^{2}$ ②
由于V_B=V_A+aT  ③
把②代入①得：x₂=（V_A+aT）T+$\frac{1}{2}a{T}_{\;}^{2}$  ③
由③-①得：x₂-x₁=△x=$a{T}_{\;}^{2}$
同理，设第3个相等时间的位移${x}_{3}^{\;}$，则有${x}_{3}^{\;}-{x}_{2}^{\;}=a{T}_{\;}^{2}$
…
${x}_{n}^{\;}-{x}_{n-1}^{\;}=a{T}_{\;}^{2}$
所以连续相等时间的位移之差$△x=a{T}_{\;}^{2}$
证毕

点评 此题为匀变速直线运动规律应用，知道中间时刻的瞬时速度与全程的平均速度相等以及相邻相等时间内的位移之差等于aT²．规律结论熟练会提升做题速度．