Question

18．某星际探测是现代航天科技发展的重要课题．如图9所示，某探测器从空间的O点沿直线ON从静止开始以加速度a作匀加速直线运动，三个月后与地球相遇于P点，再经二个月与地球相遇于Q点，已知万有引力常量G，地球公转周期为T，试导出估算太阳质量的关系式（用上述物理量表达）？

Answer 1

分析 地球绕太阳做匀速圆周运动，由太阳的万有引力提供向心力，根据万有引力定律和向心力公式列式得到地球的公转周期与半径的关系式；
对于探测卫星从静止开始以加速度a作匀加速直线运动，根据运动学公式可求得PQ间的距离与地球公式周期的关系．由几何知识得到：PQ对应的圆心角，得到地球公转半径与PQ的关系，即可联立求得太阳的质量

解答 解：对地球太阳对地球的万有引力提供圆周运动向心力有：
  $\frac{GMm}{r^2}=m{（\frac{2π}{T}）^2}r$
对探测器 PQ=OQ-OP=$\frac{1}{2}a{（\frac{5T}{12}）^2}-\frac{1}{2}a{（\frac{T}{4}）^2}=\frac{1}{18}a{T^2}$
二个月时间为地球公转周期的$\frac{1}{6}$即为$\frac{1}{6}T$，则θ=60⁰，由几何关系得r=PQ 
联立以上各式得$M=\frac{{{π^2}{a^3}{T^4}}}{1458G}$
答：太阳质量的关系式为：$M=\frac{{{π^2}{a^3}{T^4}}}{1458G}$．

点评 本题是万有引力与匀变速运动的综合，关键找出地球与探测器之间的时间关系，运用几何知识得到PQ与r的关系．