Question

3．如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上．现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计．开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面．求
（1）斜面的倾角α；
（2）A获得的最大速度v_m．

Answer 1

分析 （1）C刚离开地面时，弹簧的弹力等于C的重力，根据牛顿第二定律知B的加速度为零，B、C加速度相同，分别对B、A受力分析，列出平衡方程，求出斜面的倾角．
（2）A、B、C组成的系统机械能守恒，初始位置弹簧处于压缩状态，当B具有最大速度时，弹簧处于伸长状态，根据受力知，压缩量与伸长量相等．在整个过程中弹性势能变化为零，根据系统机械能守恒求出B的最大速度，A的最大速度与B相等；

解答 解：（1）由题意可知，C刚离开地面时，对C有：kx₂=mg         
此时B有最大速度，即a_B=a_C=0
则对B有：T-kx₂-mg=0
对A有：4mgsinα-T=0               
以上方程联立可解得：sinα=0.5，
α=30° 
（2）由题意可知，A、B两小球及轻质弹簧组成的系统在初始时和A沿斜面下滑至速度最大时的机械能守恒，同时弹簧的弹性势能相等，故有：2mg=k△x$4mg△xsinα-mg△x=\frac{1}{2}（5m）v_m^2$
得：${v_m}=2g\sqrt{\frac{m}{5k}}$
答：（1）斜面的倾角是30°；（2）A获得的最大速度是$2g\sqrt{\frac{m}{5k}}$．

点评 本题关键是对三个物体分别受力分析，得出物体B速度最大时各个物体都受力平衡，然后根据平衡条件分析；同时要注意是那个系统机械能守恒