数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n
)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k+1时命题也成立，这是递推的依据。实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。证明时，关键是k+1步的推证，要有目标意识。
Ⅰ、再现性题组：
1. 用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)＝2
.1.2…(2n－1) (n∈N)，从“k到k+1”，左端需乘的代数式为_____。
A. 2k+1
B. 2(2k+1) C.
D.
2. 用数学归纳法证明1+
+
+…+
<n (n>1)时，由n＝k (k>1)不等式成立，推证n＝k+1时，左边应增加的代数式的个数是_____。
A. 2
B. 2
－1
C. 2
D. 2+1
3. 某个命题与自然数n有关，若n＝k (k∈N)时该命题成立，那么可推得n＝k+1时该命题也成立。现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得______。 (94年上海高考)
A.当n＝6时该命题不成立 B.当n＝6时该命题成立
C.当n＝4时该命题不成立 D.当n＝4时该命题成立
4. 数列{a}中，已知a
＝1，当n≥2时a
＝a
+2n－1，依次计算a
、a
、a
后，猜想a的表达式是_____。
A. 3n－2
B. n
C. 3
D. 4n－3
5. 用数学归纳法证明3
+5
(n∈N)能被14整除，当n＝k+1时对于式子3
+5
应变形为_______________________。
6. 设k棱柱有f(k)个对角面，则k+1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)+_________。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 已知数列
，得，…，
，…。S为其前n项和，求S、S、S、S，推测S公式，并用数学归纳法证明。
(93年全国理)
[解] 计算得S＝
，S＝
，S＝
，S＝
， 猜测S＝
(n∈N)
当n＝1时，…
[注] 从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是探索性问题的证法，数列中经常用到。 (试值 → 猜想 → 证明)
[另解] 用裂项相消法求和：
例2. 设a＝
+
+…+
(n∈N),证明：n(n+1)<a<(n+1) 。
[解] 当n＝1时，a＝
，n(n+1)＝，(n+1)＝2 ， ∴ n＝1时不等式成立。
假设当n＝k时不等式成立，即：k(k+1)<a
<(k+1) ，
当n＝k+1时，k(k+1)+
<a
<(k+1)+
…
[注] 用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适当选用放缩法。
[另解] 也可采用放缩法直接证明。(抓住对的分析，注意与目标比较)
例3. 设数列{a}的前n项和为S，若对于所有的自然数n，都有S＝
，证明{a}是等差数列。 (94年全国文)
[分析] 要证等差数列，即证：a＝a+(n－1)d
[解] 设a－a＝d，猜测a＝a+(n－1)d
当n＝1时，a＝a， ∴
当n＝1时猜测正确。
假设当n＝k时，猜测正确，即：a＝a+(k－1)d ，
当n＝k+1时，a＝S－S＝
－
， 解得a＝…
…
[注] 注意问题转化成数学式及a的得出。
[另解] 可证a
－a＝ a－ a而得：
Ⅲ、巩固性题组：
1. 用数学归纳法证明：6
+1 (n∈N)能被7整除。
2. 用数学归纳法证明： 1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)＝n(n+1) (n∈N)。
3. n∈N，试比较2与(n+1)的大小，并用证明你的结论。
4. 用数学归纳法证明等式：cos
.cos
.cos
.….cos
＝
(81年全国高考)
5. 用数学归纳法证明： |sinnx|≤n|sinx| (n∈N)。 (85年广东高考)
6. 数列{a}的通项公式a＝
(n∈N)，设f(n)＝(1－a)(1－a)…(1－a)，试求f(1)、f(2)、f(3)的值，推测出f(n)的值，并用数学归纳法加以证明。
7. 已知数列{a}满足a＝1，a＝acosx+cos[(n－1)x]， (x≠kπ，n≥2且n∈N)。
①．求a和a； ②.猜测a，并用数学归纳法证明你的猜测。
8. 设f(log
x)＝
, ①.求f(x)的定义域； ②.在y＝f(x)的图像上是否存在两个不同点，使经过这两点的直线与x轴平行？证明你的结论。 ③.求证：f(n)>n (n>1且n∈N)