6. 设k棱柱有f(k)个对角面,则k+1棱柱对角面的个数为f(k+1)=f(k)+_________。
Ⅱ、示范性题组:
例1. 已知数列,得,…,,…。S为其前n项和,求S、S、S、S,推测S公式,并用数学归纳法证明。
(93年全国理)
[解] 计算得S=,S=,S=,S= , 猜测S= (n∈N)
当n=1时,…
[注] 从试验、观察出发,用不完全归纳法作出归纳猜想,再用数学归纳法进行严格证明,这是探索性问题的证法,数列中经常用到。 (试值 → 猜想 → 证明)
[另解] 用裂项相消法求和:
例2. 设a=++…+ (n∈N),证明:n(n+1)<a<(n+1) 。
[解] 当n=1时,a=,n(n+1)=,(n+1)=2 , ∴ n=1时不等式成立。
假设当n=k时不等式成立,即:k(k+1)<a<(k+1) ,
当n=k+1时,k(k+1)+<a<(k+1)+
…
[注] 用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题,注意适当选用放缩法。
[另解] 也可采用放缩法直接证明。(抓住对的分析,注意与目标比较)
例3. 设数列{a}的前n项和为S,若对于所有的自然数n,都有S=,证明{a}是等差数列。 (94年全国文)
[分析] 要证等差数列,即证:a=a+(n-1)d
[解] 设a-a=d,猜测a=a+(n-1)d
当n=1时,a=a, ∴
当n=1时猜测正确。
假设当n=k时,猜测正确,即:a=a+(k-1)d ,
当n=k+1时,a=S-S=-, 解得a=…
…
[注] 注意问题转化成数学式及a的得出。
[另解] 可证a -a= a- a而得:
Ⅲ、巩固性题组: