1．已知
，那么角
是( )
A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
2．函数
的反函数的定义域为( )
A．
B．
C．
D．
3．平面
平面
的一个充分条件是( )
A．存在一条直线
B．存在一条直线
C．存在两条平行直线
D．存在两条异面直线
4．已知
是
所在平面内一点，
为
边中点，且
，那么( )
A．
B．
C．
D．
5．记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )
A．1440种 B．960种 C．720种 D．480种
6．若不等式组
表示的平面区域是一个三角形，则
的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．或
7．如果正数
满足
，那么( )
A．
，且等号成立时的取值唯一
B．
，且等号成立时的取值唯一
C．，且等号成立时的取值不唯一
D．，且等号成立时的取值不唯一
8．对于函数①
，②
，③
，判断如下三个命题的真假：
命题甲：
是偶函数；
命题乙：
在
上是减函数，在
上是增函数；
命题丙：
在
上是增函数．
能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是( )
A．①③ B．①② C．③ D．②
数学(理工农医类)
第II卷(共110分)
9．
．
10．若数列
的前
项和
，则此数列的通项公式为 ；数列
中数值最小的项是第 项．
11．在中，若
，
，
，则
．
12．已知集合
，
．若
，则实数的取值范围是 ．
13．
2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么
的值等于 ．
14．已知函数，
分别由下表给出
 | 1 | 2 | 3 |
| | 1 | 3 | 1 |
| | 1 | 2 | 3 |
| | 3 | 2 | 1 |
则
的值为 ；满足
的的值是 ．
15．(本小题共13分)
数列中，
，
(
是常数，
)，且
成公比不为
的等比数列．
(I)求的值；
(II)求的通项公式．
16．(本小题共14分)
如图，在
中，
，斜边
．
可以通过以直线
为轴旋转得到，且二面角
是直二面角．动点的斜边
上．
(I)求证：平面
平面
；
(II)当为的中点时，求异面直线与
所成角的大小；
(III)求与平面所成角的最大值．
17．(本小题共14分)
矩形
的两条对角线相交于点
，边所在直线的方程为
，点
在
边所在直线上．
(I)求边所在直线的方程；
(II)求矩形外接圆的方程；
(III)若动圆
过点
，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．
18．(本小题共13分)
某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动)．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．
(I)求合唱团学生参加活动的人均次数；
(II)从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
(III)从合唱团中任选两名学生，用
表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望
．
19．(本小题共13分)
如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为
，短半轴长为
，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记
，梯形面积为
．
(I)求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；
(II)求面积的最大值．
20．已知集合
，其中
，由
中的元素构成两个相应的集合：
，
．
其中
是有序数对，集合和
中的元素个数分别为
和．
若对于任意的
，总有
，则称集合具有性质．
(I)检验集合
与
是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；
(II)对任何具有性质的集合，证明：
；
(III)判断和的大小关系，并证明你的结论．
数学(理工农医类)
1．C 2．B 3．D 4．A 5．B 6．D
7．A 8．D
9．
10．
11．
12．
13．
14． 
15．(共13分)
解：(I)，
，
，
因为
，
，
成等比数列，
所以
，
解得
或
．
当时，
，不符合题意舍去，故．
(II)当
时，由于
，
，
，
所以
．
又，，故
．
当
时，上式也成立，
所以
．
16．(共14分)
解法一：
(I)由题意，
，
，
是二面角是直二面角，
又
二面角是直二面角，
，又
，
平面，
又
平面
．
平面平面．
(II)作
，垂足为
，连结
(如图)，则
，
是异面直线与所成的角．
在
中，
，
，
．
又
．
在
中，
．
异面直线与所成角的大小为
．
(III)由(I)知，
平面，
是与平面所成的角，且
．
当
最小时，
最大，
这时，
，垂足为，
，
，
与平面所成角的最大值为
．
解法二：
(I)同解法一．
(II)建立空间直角坐标系
，如图，则
，
，
，
，
，
，
．
异面直线与所成角的大小为
．
(III)同解法一
17．(共14分)
解：(I)因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为
．
又因为点在直线上，
所以边所在直线的方程为
．
．
(II)由
解得点的坐标为
，
因为矩形两条对角线的交点为．
所以
为矩形外接圆的圆心．
又
．
从而矩形外接圆的方程为
．
(III)因为动圆过点
，所以
是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，
所以
，
即
．
故点的轨迹是以
为焦点，实轴长为
的双曲线的左支．
因为实半轴长
，半焦距．
所以虚半轴长
．
从而动圆的圆心的轨迹方程为
．
18．(共13分)
解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．
(I)该合唱团学生参加活动的人均次数为
．
(II)从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为
．
(III)从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件
，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件
．易知
；
；
的分布列：
| | 0 | 1 | 2 |
| |  |  |  |
的数学期望：
．
19．(共13分)
解：(I)依题意，以的中点为原点建立直角坐标系
(如图)，则点的横坐标为．
点的纵坐标
满足方程
，
解得
，
其定义域为
．
(II)记
，
则
．
令
，得
．
因为当
时，
；当
时，
，所以
是的最大值．
因此，当时，也取得最大值，最大值为
．
即梯形面积的最大值为
．
20．(共13分)
(I)解：集合不具有性质．
集合具有性质，其相应的集合和是
，
．
(II)证明：首先，由中元素构成的有序数对
共有
个．
因为
，所以
；
又因为当时，时，，所以当
时，
．
从而，集合中元素的个数最多为
，
即．
(III)解：
，证明如下：
(1)对于
，根据定义，，
，且
，从而
．
如果与
是的不同元素，那么
与
中至少有一个不成立，从而
与中也至少有一个不成立．
故
与
也是的不同元素．
可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即
，
(2)对于
，根据定义，，，且
，从而
．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而
与中也不至少有一个不成立，
故
与
也是的不同元素．
可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即
，
由(1)(2)可知，．