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21.已知函数,其中.
(1)设在处取得极值,其中,求证: ;
(2)设,求证:线段的中点在曲线上;
(3)若,求证:过原点且与曲线相切的两条直线不可能垂直.
答案
一、选择题
1.A 2.A 3.D 4.C 5.C 6.D 7.C 8.C 9.B 10.A
二、填空题
11. 12. 13. 14. 15. 16.①②④
三、解答题
17.解:(1) .
∵,∴,即,
化简得,∴.
∵,∴.
(2) ,
,
∴.
18.解:(1)如图,连,则由,得平面.
又由底面为菱形,可得,所以.
连,则为在平面上的射影,所以即为与平面所成的角.
由中点可得.
又由菱形性质可得,在中, ,所以.
所以在中,,所以.
(2)由,,可得.
过作,连,则由三垂线定理可得,所以即为二面角的平面角.
由(1)可知,又在中, ,
所以,所以.
(3)设,过作,则由可得平面.
又,所以.
所以,而,可得,故线段上存在一点,使成立, .
19.解:(1)∵,∴.
∵,∴.
∴.
∴.
(2)已知对任意的都有,
∴当时有,∴,即,
∴上是增函数, ∴,
∴上的最小值为.
(3)设,由知,
∴
由①-②得.
∵,∴,
∴,即,
∴是方程的根.
20.解:(1)由椭圆定义可得,
由可得,
而,∴,解得.
(2)由,得,
,
解得(舍去),∴.
此时.
当且仅当时, 取得最小值,此时椭圆方程为.
(3)由知点是的中点.
设两点的坐标分别为,中点的坐标为,
则,两式相减得.
∴,∴中点的轨迹为直线 ①且在椭圆内的部分.
又由可知,所以直线的斜率为,方程为 ②
①、②联立可求得点的坐标为,∵点必在椭圆内,∴,
解得,又∵,∴.
21.解:(1),∴的两根为,
令,∵,∴,
故有.
(2)设中点,则,
故有,∴,
.
∴.
代入验算可知在曲线上.
(3)过曲线上的点的切线的斜率是,
当时,切线的斜率;
当时, ,∴,
∴切线斜率.
∵,∴,∴
∴
∴,故过原点且与曲线相切的两条直线不可能垂直.