13.(人教版第49页B组第5题)
证明:
(1)若,则
(2)若,则
变式1:如图所示,是定义在[0,1]上的四个函数,其中满足性质:“对[0,1]中任意的和,任意恒成立”的只有 (
)
A.和 B. C.和 D.
解:当时,符合条件的函数是凹函数,从图像可看出有和,选择A.
变式2:.设函数=的图象如下图所示,则a、b、c的大小关系是
A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>a>b
解析:f(0)==0,∴b=0.f(1)=1,∴=1.
∴a=c+1.由图象看出x>0时,f(x)>0,即x>0时,有>0,
∴a>0.又f(x)= ,
当x>0时,要使f(x)在x=1时取最大值1,需x+≥2,
当且仅当x==1时.∴c=1,此时应有f(x)==1.∴a=2.
答案:B
变式3:如图所示,单位圆中弧AB的长为表示弧AB与弦AB
所围成的弓形面积的2倍,则函数的图象是
答案:( D )
设计意图:考察图象与式子运算的能力
14:(北师大版136页B组第1题)
判断下列方程在(0,10)内是否存在实数解,并说明理由.
(1) (2)
变式1:设二次函数,方程的两个根满足. 当时,证明.
分析:在已知方程两根的情况下,根据函数与方程根的关系,可以写出函数的表达式,从而得到函数的表达式.
证明:由题意可知.
,
∴ ,
∴ 当时,.
又,
∴ ,
综上可知,所给问题获证.
变式2:已知二次函数.
(1)若a>b>c, 且f(1)=0,证明f(x)的图象与x轴有2个交点;
(2)在(1)的条件下,是否存在m∈R,使得f(m)=- a成立时,f(m+3)为正数,若存在,证明你的结论,若不存在,说明理由;
(3)若对,方程有2个不等实根,
解: (1)
的图象与x轴有两个交点.
(2),∴1是的一个根,由韦达定理知另一根为,
∴
在(1,+∞)单调递增,,即存在这样的m使
(3)令,则是二次函数.
有两个不等实根,且方程的根必有一个属于.
设计意图:考察函数的零点