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19.(本小题满分14分)
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(Ⅰ)求数列,的通项公式;
(Ⅱ)若 问是否存在,使得成立?若存在,求出k的值,若不存在,说明理由。
(Ⅲ)求证:
参考答案
一、选择题:每小题5分,满分40分.
1.D 2.A 3.B 4.C 5.D 6.B 7.A 8.C
二、填空题:每小题5分,满分30分。
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9.2 10. 11.
12. 13. 14.①③④
三、解答题:本大题满分80分.
15.(本小题满分12分)
解:(I)……………………1分
……………………………………………………2分
=…………………………………………………………3分
=…………………………………………4分
(Ⅱ)………………………………………………5分
又………………………………7分
………………………………………………………………8分
(Ⅲ)
=…………………………………………9分
……………………………………………10分
当sinx=0时,………………………………………………11分
当sinx=-1时,………………………………………………12分
16.(本小题满分13分)
解:(I)记“取出的3张卡片都标有数字0”为事件A.…………………………1分
…………………………………………………………4分
(Ⅱ)记“取出的3张卡片数字之积是4”为事件B。……………………5分
……………………………………9分
(Ⅲ)记“取出的3张卡片数字之积是0”为事件C.……………………10分
…………………………13分
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解:(I)∵PO⊥平面ABCD
∴DO为DP在平面ABCD内的射影……………………1分
又AC⊥BD
∴AC⊥PD………………………………………………3分
(Ⅱ)取AB中点N,连结ON,PN……………………4分
∵四边形ABCD为等腰梯形
∴△ABD≌△BAC
∴∠ABD=∠BAC
∴OA=OB
∴ON⊥AB.
又∵PO⊥平面ABCD
∴ON为PN在底面ABCD内的射影,
∴PN⊥AB
∴∠PNO即为二面角P-AB-C的平面角
在Rt△DOA中,∠DAO=60°,AD=2
∴AO=1,DO=
在Rt△AOB中,………………………………………………8分
∵PO⊥平面ABCD
∴OA为PA在底面ABCD内的射影
∴∠PAO为直线PA与底面ABCD所成的角,
∴∠PAO=60°
在Rt△POA中,AO=1
∴PO=……………………………………………………………………9分
∴在Rt△PON中,
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方法二:
如图,以O为坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴,
y轴,z轴建立空间直角坐标系.……………………4分
A(0,-1,0),B(1,0,0)
P(0,0, O(0,0,0)……………………5分
……6分
∵PO⊥平面ABCD
为平面ABCD的法向量…………………7分
设为平面PAB的法向量
则
………………………………9分
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(Ⅲ)连结MO
当DM:MP=时,直线PB//平面ACM…………11分
∵AO=1,BO=AO=1,DO=
∴DO:OB=
又∵DM:MP=
∴在△BDP中,MO//PB
又∵MO平面ACM
∴PB//平面ACM……………………………………………………14分
18.(本小题满分13分)
解:(I)…………………………………………1分
令………………………………2分
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…………………………………………………………………………………………4分
∴当x=-1时,f(x)取得极大值为-4
当x=时,f(x)取得极小值为………………………………6分
(Ⅱ)设
…………8分
令
∵a>2,
∴当
当………………………………10分
∴当
即
解得a≤5,
∴2<a≤5………………………………………………………………………………12分
当x=0时,F(x)=4成立
所以实数a的取值范围是……………………………………………………13分
19.(本小题满分14分)
解(I)由题意知P1(-1,0)……………………………………………………………1分
∴…………………………………………………………………………2分
∴
∴
(Ⅱ)若k为奇数,则
无解…………………………………………………………6分
若k为偶数,则
……………………………………………………8分
综上,存在k=4使成立.…………………………………………9分
(Ⅲ)证明:
(1)当成立。………………11分
(2)当n≥3,n∈N*时,
…………………………………………12分
成立.………………………………………………13分
综上,当成立……………14分
20.(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)由题意知抛物线的方程为
∴p=1,抛物线的方程为 ……………………2分
直线l的斜率不存在时,直线l与抛物线交于一点,不符合题意。 …………3分
于是设直线l的方程为
联立
设两交点为
则△=4k2-8k>0 ……………………4分
∴ ……………………5分
设
∵
∴
消去k得 ……………………7分
又∵P点在y轴的右侧 ∴x>0,
又∵ ………………8分
∴动点P的轨迹方程为
(Ⅱ)∵曲线C的方程为
∴切线斜率 ………………9分
∴ …………10分
∵,
又
∴
∴
解得 …………12分
∴ ………………13分
∴a的取值范围是: ……………………14分