21.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c关于点(1,1)成中心对称,且f '(1)=0.
(Ⅰ)求函数f(x)的表达式;
(Ⅱ)设数列{an}满足条件:a1∈(1,2),an+1=f (an)
求证:(a1- a2).(a3-1)+(a2- a3).(a4-1)+…+(an- an+1).(an+2-1)<1
解:(Ⅰ)由f(x)=x3+ax2+bx+c关于点(1,1)成中心对称,所以
x3+ax2+bx+c+(2-x)3+a(2-x)2+b(2-x)+c=2
对一切实数x恒成立.得:a=-3,b+c=3,
对由f '(1)=0,得b=3,c=0,
故所求的表达式为:f(x)= x3-3x2+3x.
(Ⅱ) an+1=f
(an)= an 3-3 an 2+3
an (1)
令bn=an-1,0<bn<1,由代入(1)得:bn+1=,bn=,
∴ 1>bn
>bn+1 >0
(a1-a2).(a3-1)+(a2-a3).(a4-1)+…+(an-an+1).(an+2-1)=
<=b1-bn+1<b1<1。