1.在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,,则△ABC的形状为( B )
A.正三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
2.“”是“”的 条件。(答:充分非必要条件)
3.已知平面上三点A、B、C满足的值等于 ( C )
A.25 B.24 C.-25 D.-24
4.函数的图象按向量平移后,所得函数的解析式是,则=________(答:)
5、已知两圆方程分别为:,,则两圆的公切线方程为(A)
A、 B、 C、 D、
6、已知动点满足,为坐标原点,则的取值范围是_______
16、对正整数,设抛物线,过任作直线交抛物线于,两点,则数列的前项和为__-n(n+1)________
7.正实数x1,x2及函数,f (x)满足,则的最小值为 ( B )
A.4 B. C.2 D.
8.已知函数,则“b > 2a”是“f (-2)< 0”的( A )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.椭圆与直线交于A、B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为的值为 ( A )
A. B. C. D.
10.已知:是直线,是平面,给出下列四个命题:(1)若垂直于内的两条直线,则;(2)若,则平行于内的所有直线;(3)若且则;(4)若且则;(5)若且则。其中正确命题的个数是 (B )
(A) 0 (B)1 (C)2 (D) 3
11.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内
有一动点P到平面A1C1的距离是直线BC的距离的2
倍,点M是棱BB1的中点,则动点P所在曲线的大致
|
12.一次研究性课堂上,老师给出函数,三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题:
甲:函数f (x)的值域为(-1,1);
乙:若x1≠x2,则一定有f (x1)≠f (x2);
丙:若规定对任意恒成立.
你认为上述三个命题中正确的个数有(D )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
13.已知函数在区间上是增函数,则的取值范围是____(答:));
14. 在△ABC中,E、F分别为AB、AC上的点,若=m,=n,则
= mn. 拓展到空间:在三棱锥S-ABC中,D、E、F分别是侧棱SA、SB、SC上的点,若= m,=n,= p,则= .
15.已知双曲线的右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点A,
△OAF的面积为(O为坐标原点),则双曲线的两条渐近线的夹角为 60°
16.直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点,如果函数f (x)的图象恰好通过k个格点,则称函数f (x)为k阶格点函数.下列函数:①;②;③;④其中是一阶格点函数的有 ①②④ .(填上所有满足题意的序号)
17.已知△ABC,若对任意t∈R,≥,则C
A.∠A=900 B.∠B=900 C.∠C=900 D.∠A=∠B=∠C=600
18.等差数列的前项和为,公差. 若存在正整数,使得,则当()时,有(填“>”、“<”、“=”).
(6)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S12>0,S13<0,则 ,,…, 中最大的是 B
(A) (B) (C) (D)
19.定义在N*上的函数满足:f(0) = 2,f(1) = 3,
且.
(Ⅰ)求f(n)(nÎN*);
(Ⅱ)求.
(Ⅰ)由题意:,所以有:,又,所以,即,故.
(Ⅱ).
20.已知数列{an}满足a1=1,a2=-13,
(Ⅰ)设的通项公式;
(Ⅱ)求n为何值时,最小(不需要求的最小值)
解:(I)
即数列{bn}的通项公式为
(Ⅱ)若an最小,则
注意n是正整数,解得8≤n≤9
∴当n=8或n=9时,an的值相等并最小
21.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c关于点(1,1)成中心对称,且f '(1)=0.
(Ⅰ)求函数f(x)的表达式;
(Ⅱ)设数列{an}满足条件:a1∈(1,2),an+1=f (an)
求证:(a1- a2).(a3-1)+(a2- a3).(a4-1)+…+(an- an+1).(an+2-1)<1
解:(Ⅰ)由f(x)=x3+ax2+bx+c关于点(1,1)成中心对称,所以
x3+ax2+bx+c+(2-x)3+a(2-x)2+b(2-x)+c=2
对一切实数x恒成立.得:a=-3,b+c=3,
对由f '(1)=0,得b=3,c=0,
故所求的表达式为:f(x)= x3-3x2+3x.
(Ⅱ) an+1=f(an)= an 3-3 an 2+3an (1)
令bn=an-1,0<bn<1,由代入(1)得:bn+1=,bn=,
∴ 1>bn>bn+1 >0
(a1-a2).(a3-1)+(a2-a3).(a4-1)+…+(an-an+1).(an+2-1)=
<=b1-bn+1<b1<1。
22.设函数.
(Ⅰ)如果,点P曲线上一个动点,求以P为切点的切线其斜率取最小值时的切线方程;
(Ⅱ)若时,恒成立,求的取值范围.
.解(Ⅰ)设切线斜率为则当时最小值为.
所以切线方程为即
(Ⅱ)由>0 <0得.
函数在为增函数,在减函数
(1),无解; (2) 无解;
(3),解得.综上所述 .
23.已知O为坐标原点,点E、F的坐标分别为(-1,0)、(1,0),动点A、M、N满足(),,,.
(Ⅰ)求点M的轨迹W的方程;
(Ⅱ)点在轨迹W上,直线PF交轨迹W于点Q,且,若,求实数的范围.
解:(Ⅰ)∵,,
∴ MN垂直平分AF.
又,∴ 点M在AE上,
∴ ,,
∴ ,
∴ 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆,且半长轴,半焦距,
∴ .
∴ 点M的轨迹W的方程为().
(Ⅱ)设
∵ ,,
∴ ∴
由点P、Q均在椭圆W上,
∴
消去并整理,得,
由及,解得.
24.已知函数的定义域为,导数满足0<<2 且,常数为方程的实数根,常数为方程的实数根.
(Ⅰ)若对任意,存在,使等式成立.试问:方程有几个实数根;
(Ⅱ)求证:当时,总有成立;
(Ⅲ)对任意,若满足,求证:。
21、(I)假设方程有异于的实根m,即.则有
成立 .
因为,所以必有,但这与≠1矛盾,
因此方程不存在异于c1的实数根.
∴方程只有一个实数根.
(II)令,
∴函数为减函数.
又,
∴当时,,即成立.
(III)不妨设,为增函数,
即.又,∴函数为减函数
即.
,
即.
,
.
25、平面直角坐标系中,已知、、,满足向量
与向量共线,且点都在斜率为6的同一条直线上.
(1)试用与n来表示;
(2)设,且12<a≤15,求数列中的最小值的项.
解:(1)点都在斜率为6的同一条直线上,
,即,
于是数列是等差数列,故.
,,又与共线,
.
当n=1时,上式也成立.
所以an.
(2)把代入上式,
得
12<a≤15,,
当n=4时,取最小值, 最小值为a4=18-2a.
26.已知二次函数为偶函数,函数f(x)的图象与直线y=x相切.
(1)求f(x)的解析式
(2)若函数上是单调减函数,求k的取值范围.
(1)∵f(x+1)为偶函数,
∴
恒成立,
即(2a+b)x=0恒成立,
∴2a+b=0
∴b=-2a
∴
∵函数f(x)的图象与直线y=x相切,
∴二次方程有两相等实数根,
∴
(2)∵
故k的取值范围为
27.已知AB是抛物线的任一弦,F为抛物线的焦点,l为准线.m是过点A且以向量为方向向量的直线.
(1)若过点A的抛物线的切线与y轴相交于点C,求证:|AF|=|CF|;
(2)若异于原点),直线OB与m相交于点P,求点P的轨迹方程;
(3)若AB过焦点F,分别过A,B的抛物线两切线相交于点T,求证:且T在直线l上.
解:(1)设A(,因为导数,
则直线AC的方程:
由抛物线定义知,|AF|=+,又|CF|=-(-)=+,故|AF|=|CF|.
(2)设
由
得. ①
直线OB方程: ②
直线m的方程:, ③
由①②③得y=-p,故点P的轨迹方程为y=-p(x≠0).
(3)设则
因为AB是焦点弦,设AB的方程为:
得
由(1)知直线AT方程:
同理直线BT方程:
所以直线AB方程:,
又因为AB过焦点,,故T在准线上.
28. 如图,已知直线l与半径为1的⊙D相切于点C,动点P到直线l的距离为d,若
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)若轨迹上的点P与同一平面上的点G、M分别满足
,
求以P、G、D为项点的三角形的面积.
解:(Ⅰ)
∴点P的轨迹是D为焦点,l为相应准线的椭圆.
由
以CD所在直线为x轴,以CD与⊙D的另一个交点O为坐标原点建立直角坐标系.
∴所求点P的轨迹方程为
(Ⅱ)G为椭圆的左焦点.
又
由题意,(否则P、G、M、D四点共线与已经矛盾)
又∵点P在椭圆上,
又
29.设无穷数列{an}具有以下性质:①a1=1;②当
(Ⅰ)请给出一个具有这种性质的无穷数列,使得不等式 对于任意的都成立,并对你给出的结果进行验证(或证明);
(Ⅱ)若,其中,且记数列{bn}的前n项和Bn,证明:
解:(Ⅰ)令,
则无穷数列{an}可由a1 = 1,给出.
显然,该数列满足,且
(Ⅱ)
又
30、已知函数为偶函数,且其
图像上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为。
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若 的值。
31.设分别为的重心和外心,,且。
(I)求点的轨迹的方程;
(II)若是过点且垂直于轴的直线,是否存在直线,使得与曲线交于两个不同的点,且恰被平分?若存在,求出的斜率的取值范围;若不存在,请说明理由。
13.解:(I)设,则,因为 ,可得;又由,
可得点的轨迹的方程为。
(II)假设存在直线,代入并整理得
,
设,则 又
,解得或
特别地,若,代入得,,此方程无解,即。
综上,的斜率的取值范围是或。
18.已知△ABC中,三个内角是A、B、C的对边分别是a、b、c,其中c=10,且
(I)求证:△ABC是直角三角形;
(II)设圆O过A、B、C三点,点P位于劣弧AC上,∠PAB=60°,.求四边形ABCP的面积.
18.解:(Ⅰ)证明:根据正弦定理得,
整理为,sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.
∴2A=2B或2A+2B= ∴.
∴舍去A=B. ∴即.
故△ABC是直角三角形.
(Ⅱ)解:由(1)可得:a=6,b=8.
在Rt△ACB中,
∴
=
=
连结PB,在Rt△APB中,AP=AB.cos∠PAB=5.
∴四边形ABCP的面积
=24+=18+.
32.已知三次函数在和时取极值,且.
(1) 求函数的表达式;
(2) 求函数的单调区间和极值;
(3) 若函数在区间上的值域为,试求、应满足的条件.
解:(1) ,
由题意得,是的两个根,
解得,.
再由可得.
∴.
(2) ,
当时,;当时,;当时,;当时,;当时,.
∴函数在区间上是增函数;在区间上是减函数;在区间上是增函数.函数的极大值是,极小值是.
(3) 函数的图象是由的图象向右平移个单位,向上平移4个单位得到的,
所以,函数在区间上的值域为().
而,∴,即.
于是,函数在区间上的值域为.
令得或.
由的单调性知,,即.
综上所述,、应满足的条件是:,且.
易错问题
1.定义在上的偶函数满足,且在上是减函数,若是锐角三角形的两个内角,则的大小关系为____ (答:);
2.函数的图象与轴的交点个数有____个(答:2)
3.如若函数是偶函数,则函数的对称轴方程是__ (答:).
4.(1)设成等差数列,成等比数列,则的取值范围是____________.(答:)。
(2)设成等差数列,成等比数列,则的取值范围是____________.(答:)。
5.已知函数过点作曲线的切线,求此切线的方程(答:或)。
6.已知函数在区间[-1,2 ]上是减函数,那么b+c有最__值__答:大,)
7.函数处有极小值10,则a+b的值为____(答:-7)
8.已知,,如果与的夹角为锐角,则的取值范围是______(答:或且);
9.若点是的外心,且,则的内角为____(答:);
10.设集合,,,则_____(答:)
11.,如果,求的取值。(答:a≤0)
已知函数在区间上至少存在一个实数,使,求实数的取值范围。 (答:)
12.已知O是△ABC所在平面内的一定点,动点P满足,,则动点P的轨迹一定通过△ABC的 (D)
A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心
13.如图,从双曲线的左焦
点F引圆的切线,切点为T,延长FT交
双曲线右支于P点,若M为线段FP的中点,O为坐标
原点,则|MO|-|MT|与b-a的大小关系为 (B )
A.|MO|-|MT| > b-a
B.|MO|-|MT| = b-a
C.|MO|-|MT| < b-a
D.不确定
14.如图,所在的平面和四边形所在的平面垂直,且, , ,,,则点在平面内的轨迹是 (A )
A.圆的一部分
B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分
D.抛物线的一部分
15若函数的导函数为,则函数的单调递减区间是(C )
(A) (B) (C) (D)
16.定义在R上的函数,它同时满足具有下述性质:
①对任何
②对任何则 0 .
17.设数列{an}是等比数列,,则a4与a10的等比中项为 ( )
A. B. C. D.
18.已知数列的前项和为非零常数),则数列为( )
(A)等差数列 (B)等比数列
(C)既不是等差数列,又不是等比数列 (D)既是等差数列又是等比数列
19.已知全集U=R,集合,则
A. B.
C.{(1,-2)} D.( )
20. 已知椭圆的左右焦点分别为F1与F2,点P在直线l:上,
当取最大值时,点P的坐标为 (-10,-4)或(-2,4) 。
21.椭圆的左右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,若P,F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,则P到X轴距离为 1或 .
22.过轴上一点,向圆作切线,切点分别为,则面积的最大值为 。
已知向量是两个不共线的非零向量, 向量满足.则向量用向量一定可以表示为 (C)
A. 且. B.
C. D. , 或
(5)若数列中,,且对任意的正整数、都有,则
(A) (B) (C) (D) ( C)
16.已知x∈N*,f(x)= ,其值域设为D,给出下列数值:-26,-1,9,14,27,65,则其中属于集合D的元素 ___14,65 _ _.(写出所有可能的数值)
23、如图,垂直正方形所在的平面,,动点在线段上,则二面角的取值范围是
A、 B、 C、 D、
24.在△OAB(O为原点)中,,若,则S△AOB的值为 ( )
A. B. C. D.
25.若y=3|x|(x∈[a,b])的值域为[1,9],则a2+b2-2a的取值范围是( )
A.[2,4] B.[4,16] C.[2,2] D.[4,12]
26.在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,
则等于( C )
(A) (B) (C) (D)
27、点P在平面上作匀速直线运动,速度向量=(4,-3)(即点P的运动方向与相同,且每秒移动的距离为||个单位.设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为( D )
(A)(-2,4) (B)(-30,25) (C)(5,-10) (D)(10,-5)
28、已知在△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,P是AB上的点,则点P到AC、BC
的距离乘积的最大值是 3 。
29、若函数内为增函数,则实数a的取值范围(A )
A. B. C. D.
30、如图,平面内的两条相交直线和将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ (不包括边界). 若,且点落在第Ⅲ部分,则实数满足( B )
(A) . (B) .
(C) . (D) .
31.已知双曲线的焦点分别为F1、F2,点P在双曲线上且|PF1|=4|PF2|,则双曲线离心率的最大值为( B )
A. B. C.2 D.
8、某班有48名学生,某次数学考试,算术平均分为70分,标准差为s,后来发现成绩记录有误,某甲得80分却误记为50分,某乙得70分却误记为100分,更正后计算得标准差为s1,则s1和s之间的大小关系为 …………………………………………………(D )
(A)s1>s (B)s1=s (C)s+5<s1 (D)s>s1
15.在ABC中,若:= = ,则COSA等于___________.
4、已知等差数列{an}的首项a1=120,d=-4,记Sn= a1+a2+…+an,若Sn≤an(n>1),则n最小值为………………………………………………………………………………(B )
(A)60 (B)62 (C)63 (D)70
7.二元函数定义域为,则函数的定义域所表示的平面区域是(B)
9、一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 11 m的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同拼色方法有 ( D)
(A)个 (B) 个 C. 个 (D) 个
(18)已知等比数列{an}的前n项和为Sn.
(Ⅰ)若Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列,证明am,am+2,am+1成等差数列;
(Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题,判断它的真伪,并给出证明.
证 (Ⅰ) ∵Sm+1=Sm+am+1,Sm+2=Sm+am+1+am+2.
由已知2Sm+2=Sm+Sm+1,∴ 2(Sm+am+1+am+2)=Sm+(Sm+am+1),
∴am+2=-am+1,即数列{an}的公比q=-.
∴am+1=-am,am+2=am,∴2am+2=am+am+1,∴am,am+2,am+1成等差数列.
(Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是:若am,am+2,am+1成等差数列,则Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.
设数列{an}的公比为q,∵am+1=amq,am+2=amq2.
由题设,2am+2=am+am+1,即2amq2=am+amq,即2q2-q-1=0,∴q=1或q=-.
当q=1时,A≠0,∴Sm,Sm+2, Sm+1不成等差数列.
逆命题为假.
19. (12分)设某物体一天中的温度T是时间t的函数,,其中温度的单位是,时间的单位是小时。t=0表示12:00, t取正值表示12:00点以后。若测得该物体在8:00的温度为8,12:00的温度为60,13:00的温度为58,且已知该物体的温度在8:00和16:00有相同的变化率。
(1)写出该物体的温度T关于时间t的函数关系式;
(2)该物体在10:00到14:00这段时间中(包括10:00,14:00)何时温度最高?并求出最高温度。
(1)依题意得
解得:a=1,b=0,c=-3,d=60 故T(t)=t3-3t+60
(2)=0,得:
比较T(-2),T(-1),T(1),T(2)知,在10:0014:00这段时间中,该物体在11:00和14:00的温度最高,且最高温度为62.