27.已知AB是抛物线的任一弦,F为抛物线的焦点,l为准线.m是过点A且以向量为方向向量的直线.
(1)若过点A的抛物线的切线与y轴相交于点C,求证:|AF|=|CF|;
(2)若异于原点),直线OB与m相交于点P,求点P的轨迹方程;
(3)若AB过焦点F,分别过A,B的抛物线两切线相交于点T,求证:且T在直线l上.
解:(1)设A(,因为导数,
则直线AC的方程:
由抛物线定义知,|AF|=+,又|CF|=-(-)=+,故|AF|=|CF|.
(2)设
由
得.
①
直线OB方程:
②
直线m的方程:, ③
由①②③得y=-p,故点P的轨迹方程为y=-p(x≠0).
(3)设则
因为AB是焦点弦,设AB的方程为:
得
由(1)知直线AT方程:
同理直线BT方程:
所以直线AB方程:,
又因为AB过焦点,,故T在准线上.