8．(北师大版第54页B组第5题)恒成立问题 当具有什么关系时，二次函数的函数值恒大于零？恒小于零？ 变式1：已知函数 f (x) = lg (a x 2 + 2x + 1) ． (I)若函数 f (x) 的定义域为 R，求实数 a 的取值范围； (II)若函数 f (x) 的值域为 R，求实数 a 的取值范围． 变式2：已知函数，若时，有恒成立，求的取值范围． 变式3：若f (x) = x 2 + bx + c，不论 a、b 为何实数，恒有 f (sin a )≥0，f (2 + cos b )≤0． (I) 求证：b + c = －1； (II) 求证： c≥3； (III) 若函数 f (sin a ) 的最大值为 8，求 b、c 的值．

9．(北师大版第54页B组第1题)根与系数关系 右图是二次函数的图像，它与x轴交于点和，试确定以及，的符号． 变式1：二次函数与一次函数在同一个直角坐标系的图像为 　　　　 　 变式2：直线与抛物线 中至少有一条相交，则m的取值范围是． 变式3：对于函数 f (x)，若存在 x0 Î R，使 f (x0) = x0 成立，则称 x0 为 f (x) 的不动点．如果函数 f (x) = a x 2 + bx + 1(a > 0)有两个相异的不动点 x1、x2． (I)若 x1 < 1 < x2，且 f (x) 的图象关于直线 x = m 对称，求证m > ； (II)若 | x1 | < 2 且 | x1－x2 | = 2，求 b 的取值范围．

10．(北师大版第52页例3)应用 绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料．根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶．在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？ 变式1：在抛物线与x轴所围成图形的内接矩形(一边在x轴上)中(如图)，求周长最长的内接矩形两边之比，其中a是正实数． 变式2：某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二(注：利润和投资单位：万元) (I)　　　 分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (II)　　 该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元(精确到1万元)？ 变式3：设a为实数，记函数的最大值为g(a) ． (Ⅰ)求g(a)；(Ⅱ)试求满足的所有实数a． 二次函数答案

1．(人教A版第27页A组第6题)解析式、待定系数法 变式1： 解：由题意可知，解得，故选D． 变式2： 解：由题意可知，解得b=0，∴，解得c=2． 变式3：解：由题意可设所求二次函数的解析式为， 展开得， ∴， ∴，即，解得． 所以，该二次函数的图像是由的图像向上平移 单位得到的，它的解析式是，即．

2．(北师大版第52页例2)图像特征 变式1： 解：根据题意可知，∴ ，故选D． 变式2： 解：∵，∴抛物线的对称轴是， ∴　 即， ∴，∴、、， 故有，选C． 变式3： 解：观察函数图像可得： ①　　 a>0(开口方向)；② c=1(和y轴的交点)； ③ (和x轴的交点)；④()； ⑤ (判别式)；⑥ (对称轴)．

4．(人教A版第43页B组第1题)最值 变式1： 解：作出函数的图像， 开口向上，对称轴上x=1，顶点是(1，2)，和y轴的交点是(0，3)， ∴m的取值范围是，故选C． 变式2： 解：函数有意义，应有，解得， ∴　 　Þ 　Þ ， ∴　 M=6，m=0，故M + m=6． 变式3： 解：函数的表达式可化为． ① 当，即时，有最小值，依题意应有，解得，这个值与相矛盾． ②当，即时，是最小值，依题意应有，解得，又∵，∴为所求． ③当，即时，是最小值， 依题意应有，解得，又∵，∴为所求． 综上所述，或．

5．(人教A版第43页A组第6题)奇偶性 变式1： 解：函数是偶函数 Þ 　Þ ， 当时，是常数；当时，，在区间上是增函数，故选D． 变式2：解：根据题意可知应有且，即且，∴点的坐标是． 变式3： 解：(I)当时，函数，此时，为偶函数； 当时，，， ，，此时既不是奇函数，也不是偶函数． (II)(i)当时，， 若，则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为． 若，则函数在上的最小值为，且． (ii)当时，函数， 若，则函数在上的最小值为，且， 若，则函数在上单调递增，从而函数在上的最小值为． 综上，当时，函数的最小值为； 当时，函数的最小值为； 当时，函数的最小值为．

6．(北师大版第64页A组第9题)图像变换 变式1： 解：函数可转化为二次函数，作出函数图像，由图像可得单调区间． 当时，， 当时，． 作出函数图像，由图像可得单调区间． 在和上，函数是增函数；在和上，函数是减函数． 变式2： 解：若则，显然不是偶函数，所以①是不正确的； 若则，满足，但的图像不关于直线x=1对称，所以②是不正确的； 若，则，图像是开口向上的抛物线，其对称轴是，∴在区间[a，+∞上是增函数，即③是正确的； 显然函数没有最大值，所以④是不正确的． 变式3： 解：， (1)当c=0时，，满足，是奇函数，所以①是正确的； (2)当b=0，c>0时，， 方程即　或　， 显然方程无解；方程的唯一解是　，所以② 是正确的； (3)设是函数图像上的任一点，应有， 而该点关于(0，c)对称的点是，代入检验即，也即，所以也是函数图像上的点，所以③是正确的； (4)若，则，显然方程有三个根，所以④ 是不正确的．

7．(北师大版第54页A组第6题)值域 变式1： 解：作出函数的图象，容易发现在上是增函数，在上是减函数，求出，，，注意到函数定义不包含，所以函数值域是． 变式2：解：∵ y= cos2x+sinx=－2sin2x+sinx+1，令t= sinx Î [－1,1]， 则y=－2t2+t+1，其中tÎ [－1,1]， ∴y Î [－2, ]，即原函数的值域是[－2, ]． 变式3： 解：(I) ∵　 f (1 + x) = f (1－x)， ∴ －　= 1， 又方程 f (x) = x 有等根 Û a x 2 + (b－1) x = 0 有等根， ∴ △= (b－1) 2 = 0 Þ b = 1 Þ a = －， ∴ f (x) = －x 2 + x． (II) ∵　　 f (x) 为开口向下的抛物线，对称轴为 x = 1， 1° 当 m≥1 时，f (x) 在 [m,n] 上是减函数， ∴　 3m = f (x)min = f (n) = －n 2 + n　　　 (*)， 　　　 　　　　 3n = f (x)max = f (m) = －m 2 + m， 两式相减得：3 (m－n) = －(n 2－m 2) + (n－m)， ∵　　 1≤m < n，上式除以 m－n 得：m + n = 8， 代入 (*) 化简得：n 2－8n + 48 = 0 无实数解． 2° 当 n≤1 时，f (x) 在 [m,n] 上是增函数， ∴　 3m = f (x)min = f (m) = －m 2 + m， 　　　 　　　　 3n = f (x)max = f (n) = －n 2 + n， ∴　　 m = －4，n = 0． 3° 当 m≤1≤n 时，对称轴 x = 1 Î [m,n]， ∴　 3n = f (x)max = f (1) = 　Þ n = 与 n≥1 矛盾． 综合上述知，存在 m = －4、n = 0 满足条件．

8．(北师大版第54页B组第5题)恒成立问题 变式1： 解：(I) 函数 f (x) 的定义域为 R，即不等式a x 2 + 2x + 1 > 0 的解集为 R， ∴应有　 　Þ a > 1， ∴　 实数 a 的取值范围是(1,+¥) ． (II) 函数 f (x) 的值域为 R，即a x 2 + 2x + 1 能够取 (0,+¥) 的所有值． 1° 当 a = 0 时，a x 2 + 2x + 1 = 2x + 1满足要求； 2° 当 a ≠ 0 时，应有　Þ 0 < a≤1． ∴　 实数 a 的取值范围是[0,1] ． 变式2： 解法一：(转化为最值) 在上恒成立，即在上恒成立． ⑴， ； ⑵，． 综上所述． 解法二：(运用根的分布) ⑴当，即时，应有， 即，不存在； ⑵当，即时，应有， 即，； ⑶当，即时，应有，即　， 综上所述． 变式3： 证明：(I) 依题意，f (sin ) = f (1)≥0，f (2 + cos p) = f (1)≤0， ∴　　 f (1) = 0 Þ 1 + b + c = 0 Þ b + c = －1， (II)　　　 由 (I) 得： f (x) = x 2－(c + 1) x + c 　　　 (*) ∵　 f (2 + cos b )≤0 Þ (2 + cos b ) 2－(c + 1) (2 + cos b ) + c≤0 Þ (1 + cos b ) [c－(2 + cos b )]≥0，对任意 b 成立． ∵　 1 + cos b ≥0 Þ c≥2 + cos b ， ∴　 c≥(2 + cos b )max = 3． (III) 由 (*) 得：f (sin a ) = sin 2a－(c + 1) sin a + c， 设 t = sin a ，则g(t) = f (sin a ) = t 2－(c + 1) t + c，－1≤t≤1， 这是一开口向上的抛物线，对称轴为 t = ， 由 (II) 知：t≥= 2， ∴ g(t) 在 [－1,1] 上为减函数． ∴ g(t)max = g(－1) = 1 + (c + 1) + c = 2c + 2 = 8， ∴ c = 3 ∴ b = －c－1 = －4．