1．(人教A版第27页A组第6题)解析式、待定系数法

若，且，，求的值．

变式1：若二次函数的图像的顶点坐标为，与y轴的交点坐标为(0,11)，则

　A．　　　　　　B．　　　　　　

C．　　　　　　D．

变式2：若的图像x=1对称，则c=_______．

变式3：若二次函数的图像与x轴有两个不同的交点、，且，试问该二次函数的图像由的图像向上平移几个单位得到？

2．(北师大版第52页例2)图像特征

将函数配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．

变式1：已知二次函数，如果(其中)，则　

A．　　　　　B．　　　　　　 C． 　　　　　　D．

变式2：函数对任意的x均有，那么、、的大小关系是

　A．　　　　　　B．

　C．　　　　　　D．

变式3：已知函数的图像如右图所示，

请至少写出三个与系数a、b、c有关的正确命题_________．

3．(人教A版第43页B组第1题)单调性

已知函数，．

(1)求，的单调区间；(2) 求，的最小值．

变式1：已知函数在区间内单调递减，则a的取值范围是

　A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．

变式2：已知函数在区间(,1)上为增函数，那么的取值范围是_________．

变式3：已知函数在上是单调函数，求实数的取值范围．

4．(人教A版第43页B组第1题)最值

已知函数，．

(1)求，的单调区间；(2) 求，的最小值．

变式1：已知函数在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是

　A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．

变式2：若函数的最大值为M，最小值为m，则M + m的值等于________．

变式3：已知函数在区间[0,2]上的最小值为3，求a的值．

5．(人教A版第43页A组第6题)奇偶性

已知函数是定义在R上的奇函数，当≥0时，．画出函数的图像，并求出函数的解析式．

变式1：若函数是偶函数，则在区间上是

　A．增函数　　　 B．减函数　　　 C．常数　　　 D．可能是增函数，也可能是常数

变式2：若函数是偶函数，则点的坐标是________．

变式3：设为实数，函数，．

(I)讨论的奇偶性；(II)求的最小值．

6．(北师大版第64页A组第9题)图像变换

已知．

(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值．

变式1：指出函数的单调区间．

变式2：已知函数．

给下列命题：①必是偶函数；

② 当时，的图像必关于直线x=1对称；

③ 若，则在区间[a，+∞上是增函数；

④有最大值．

　　　　其中正确的序号是________．③

变式3：设函数给出下列4个命题：

　　　 　　 ①当c=0时，是奇函数；

　　　 　　 ②当b=0，c>0时，方程只有一个实根；

　　　 　　 ③的图象关于点(0，c)对称；

　　　 ④方程至多有两个实根．

　　　 上述命题中正确的序号为　　　　　　　　　．

7．(北师大版第54页A组第6题)值域

求二次函数在下列定义域上的值域：

(1)定义域为；(2) 定义域为．

变式1：函数的值域是

　A．　　　B．　　　C．　　　　D．

变式2：函数y=cos2x+sinx的值域是__________．

变式3：已知二次函数f (x) = a x² + bx(a、b 为常数，且a ≠ 0)，满足条件 f (1 + x) = f (1－x)，且方程f (x) = x 有等根．

(1)求 f (x) 的解析式；

(2)是否存在实数 m、n(m < n)，使 f (x) 的定义域和值域分别为 [m,n] 和 [3m,3n]，如果

存在，求出 m、n 的值，如果不存在，说明理由．

8．(北师大版第54页B组第5题)恒成立问题

当具有什么关系时，二次函数的函数值恒大于零？恒小于零？

变式1：已知函数f (x) = lg (ax ² + 2x + 1) ．

(I)若函数 f (x) 的定义域为 R，求实数 a 的取值范围；

(II)若函数 f (x) 的值域为 R，求实数 a 的取值范围．

变式2：已知函数，若时，有恒成立，求的取值范围．

变式3：若f (x) = x ² + bx+ c，不论 a、b 为何实数，恒有 f (sin a )≥0，f (2 + cos b )≤0．

(I) 求证：b + c = －1；

(II) 求证： c≥3；

(III) 若函数 f (sin a ) 的最大值为 8，求 b、c 的值．

9．(北师大版第54页B组第1题)根与系数关系

右图是二次函数的图像，它与x轴交于点和，试确定以及，的符号．

变式1：二次函数与一次函数在同一个直角坐标系的图像为

变式2：直线与抛物线

中至少有一条相交，则m的取值范围是．

变式3：对于函数f (x)，若存在 x₀ Î R，使 f (x₀) = x₀ 成立，则称 x₀ 为 f (x) 的不动点．如果函数 f (x) = a x ²+ bx + 1(a > 0)有两个相异的不动点 x₁、x₂．

(I)若x₁ < 1 < x₂，且 f (x) 的图象关于直线 x = m 对称，求证m > ；

(II)若 | x₁ | < 2 且 | x₁－x₂ | = 2，求 b 的取值范围．

10．(北师大版第52页例3)应用

绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料．根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶．在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？

变式1：在抛物线与x轴所围成图形的内接矩形(一边在x轴上)中(如图)，求周长最长的内接矩形两边之比，其中a是正实数．

变式2：某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二(注：利润和投资单位：万元)

(I)　　　分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；

(II)　　该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元(精确到1万元)？

变式3：设a为实数，记函数的最大值为g(a) ．

(Ⅰ)求g(a)；(Ⅱ)试求满足的所有实数a．

二次函数答案

1．(人教A版第27页A组第6题)解析式、待定系数法

变式1： 解：由题意可知，解得，故选D．

变式2： 解：由题意可知，解得b=0，∴，解得c=2．

变式3：解：由题意可设所求二次函数的解析式为，

展开得，

∴，

∴，即，解得．

所以，该二次函数的图像是由的图像向上平移 单位得到的，它的解析式是，即．

2．(北师大版第52页例2)图像特征

变式1： 解：根据题意可知，∴ ，故选D．

变式2： 解：∵，∴抛物线的对称轴是，

∴　 即，

∴，∴、、，

故有，选C．

变式3： 解：观察函数图像可得：

①　　a>0(开口方向)；② c=1(和y轴的交点)；

③ (和x轴的交点)；④()；

⑤ (判别式)；⑥ (对称轴)．

3．(人教A版第43页B组第1题)单调性

变式1： 解：函数图像是开口向上的抛物线，其对称轴是，

由已知函数在区间内单调递减可知区间应在直线的左侧，

∴，解得，故选D．

变式2：解：函数在区间(,1)上为增函数，由于其图像(抛物线)开口向上，所以其对称轴或与直线重合或位于直线的左侧，即应有，解得，

∴　 ，即．

变式3：解：函数的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是，

∵　 已知函数在上是单调函数，∴　 区间应在直线的左侧或右侧，

即有或，解得或．

4．(人教A版第43页B组第1题)最值

变式1： 解：作出函数的图像，

开口向上，对称轴上x=1，顶点是(1，2)，和y轴的交点是(0，3)，

∴m的取值范围是，故选C．

变式2： 解：函数有意义，应有，解得，

∴　 　Þ 　Þ ，

∴　 M=6，m=0，故M + m=6．

变式3： 解：函数的表达式可化为．

① 当，即时，有最小值，依题意应有，解得，这个值与相矛盾．

②当，即时，是最小值，依题意应有，解得，又∵，∴为所求．

③当，即时，是最小值，

依题意应有，解得，又∵，∴为所求．

综上所述，或．

5．(人教A版第43页A组第6题)奇偶性

变式1： 解：函数是偶函数 Þ 　Þ ，

当时，是常数；当时，，在区间上是增函数，故选D．

变式2：解：根据题意可知应有且，即且，∴点的坐标是．

变式3： 解：(I)当时，函数，此时，为偶函数；

当时，，，

，，此时既不是奇函数，也不是偶函数．

(II)(i)当时，，

若，则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为．

若，则函数在上的最小值为，且．

(ii)当时，函数，

若，则函数在上的最小值为，且，

若，则函数在上单调递增，从而函数在上的最小值为．

综上，当时，函数的最小值为；

当时，函数的最小值为；

当时，函数的最小值为．

6．(北师大版第64页A组第9题)图像变换

变式1： 解：函数可转化为二次函数，作出函数图像，由图像可得单调区间．

当时，，

当时，．

作出函数图像，由图像可得单调区间．

在和上，函数是增函数；在和上，函数是减函数．

变式2： 解：若则，显然不是偶函数，所以①是不正确的；

若则，满足，但的图像不关于直线x=1对称，所以②是不正确的；

若，则，图像是开口向上的抛物线，其对称轴是，∴在区间[a，+∞上是增函数，即③是正确的；

显然函数没有最大值，所以④是不正确的．

变式3： 解：，

(1)当c=0时，，满足，是奇函数，所以①是正确的；

(2)当b=0，c>0时，，

方程即　或　，

显然方程无解；方程的唯一解是　，所以② 是正确的；

(3)设是函数图像上的任一点，应有，

而该点关于(0，c)对称的点是，代入检验即，也即，所以也是函数图像上的点，所以③是正确的；

(4)若，则，显然方程有三个根，所以④是不正确的．

7．(北师大版第54页A组第6题)值域

变式1： 解：作出函数的图象，容易发现在上是增函数，在上是减函数，求出，，，注意到函数定义不包含，所以函数值域是．

变式2：解：∵y= cos2x+sinx=－2sin²x+sinx+1，令t= sinx Î [－1,1]，

则y=－2t²+t+1，其中tÎ [－1,1]，

∴y Î [－2, ]，即原函数的值域是[－2, ]．

变式3： 解：(I) ∵　 f (1 + x)= f (1－x)，

∴－　= 1，

又方程f (x) = x 有等根 Û a x ² + (b－1) x = 0 有等根，

∴△= (b－1) ² = 0 Þ b = 1 Þ a = －，

∴f (x) = －x ² + x．

(II) ∵　　 f (x)为开口向下的抛物线，对称轴为 x = 1，

1° 当 m≥1 时，f (x) 在 [m,n] 上是减函数，

∴　 3m = f (x)_min = f (n) = －n ² + n　　　 (*)，

　　　 　　　　3n = f (x)_max = f (m) = －m ² + m，

两式相减得：3 (m－n) = －(n ²－m ²)+ (n－m)，

∵　　 1≤m < n，上式除以 m－n 得：m + n = 8，

代入 (*) 化简得：n ²－8n + 48 = 0 无实数解．

2° 当 n≤1 时，f (x) 在 [m,n] 上是增函数，

∴　 3m = f (x)_min = f (m) = －m ² + m，

　　　 　　　　3n = f (x)_max = f(n) = －n ² +n，

∴　　 m = －4，n = 0．

3° 当 m≤1≤n 时，对称轴 x = 1 Î [m,n]，

∴　 3n = f (x)_max= f (1) = 　Þ n = 与 n≥1 矛盾．

综合上述知，存在m = －4、n = 0 满足条件．

8．(北师大版第54页B组第5题)恒成立问题

变式1： 解：(I) 函数 f (x) 的定义域为 R，即不等式a x ² + 2x + 1> 0 的解集为 R，

∴应有　 　Þ a > 1，

∴　 实数 a 的取值范围是(1,+¥) ．

(II) 函数 f (x) 的值域为 R，即a x ² + 2x + 1 能够取 (0,+¥) 的所有值．

1° 当 a = 0 时，a x ² + 2x + 1= 2x + 1满足要求；

2° 当 a ≠ 0 时，应有　Þ 0 < a≤1．

∴　 实数 a 的取值范围是[0,1] ．

变式2： 解法一：(转化为最值)

在上恒成立，即在上恒成立．

⑴， ；

⑵，．

综上所述．

解法二：(运用根的分布)

⑴当，即时，应有， 即，不存在；

⑵当，即时，应有，

即，；

⑶当，即时，应有，即　，

综上所述．

变式3： 证明：(I) 依题意，f (sin ) = f (1)≥0，f (2 + cos p) = f (1)≤0，

∴　　 f (1) = 0 Þ 1 + b + c = 0Þ b+ c = －1，

(II)　　　 由 (I) 得： f (x) = x ²－(c + 1) x + c 　　　 (*)

∵　 f (2 + cos b )≤0 Þ (2 + cos b ) ²－(c + 1) (2 + cos b ) + c≤0

Þ (1+ cos b ) [c－(2 + cos b )]≥0，对任意 b 成立．

∵　 1 + cos b ≥0 Þ c≥2 + cos b ，

∴　 c≥(2 + cos b )_max = 3．

(III) 由 (*) 得：f (sin a ) = sin ²a－(c + 1) sin a + c，

设t = sin a ，则g(t) = f (sin a ) = t²－(c + 1)t + c，－1≤t≤1，

这是一开口向上的抛物线，对称轴为 t = ，

由(II) 知：t≥= 2，

∴g(t) 在 [－1,1] 上为减函数．

∴g(t)_max = g(－1) = 1 + (c + 1) + c= 2c + 2 = 8，

∴c = 3

∴b = －c－1 = －4．

9．(北师大版第54页B组第1题)根与系数关系

变式1： 解：二次函数与一次函数图象交于两点、，由二次函

数图象知同号，而由中一次函数图象知异号，互相矛盾，故舍去．

又由知，当时，，此时与中图形不符，当时，，与中图形相符．

变式2： 解：原命题可变为：求方程，，

中至少有一个方程有实数解，而此命题的反面是：“三个方程均无实数解”，于是，从全体实数中除去三个方程均无实数解的的值，即得所求．

解不等式组得 ，

故符合条件的取值范围是或．

变式3： 解：(I) 由f (x) 表达式得 m = －，

∵　 g(x) = f (x)－x = a x ² + (b－1) x + 1，a > 0，

由　 x₁，x₂ 是方程 f (x) = x的两相异根，且x₁ < 1 < x₂，

∴　 g(1) < 0 Þ a + b < 0 Þ －> 1 Þ －> ，即 m > ．

(II) △= (b－1) ²－4a > 0 Þ (b－1) ² > 4a，

　　　 　　　x₁ + x₂ = ，x₁x₂ = ，

∴　 | x₁－x₂ |² = (x₁ + x₂) ²－4x₁x₂= () ²－= 2 ²，

∴　 (b－1) ² = 4a + 4a ²　　　 (*)

又　　 | x₁－x₂ | = 2，

∴x₁、x₂ 到 g(x) 对称轴 x = 的距离都为1，

要g(x) = 0 有一根属于 (－2,2)，

则g(x) 对称轴 x = Î (－3,3)，

∴－3 < < 3 Þ a > | b－1 |，

把代入(*) 得：(b－1) ² > | b－1 | + (b－1) ²，

解得：b < 或 b > ，

∴b 的取值范围是：(－¥, )∪( ,+¥)．

10．(北师大版第52页例3)应用

变式1： 解：设矩形ABCD在x轴上的边是BC，BC的长是x(0<x<a)，

则B点的坐标为，A点的坐标为．

设矩形ABCD的周长为P，

则P=2(0<x<a)．

① 若a>2，则当x=2时，矩形的周长P有最大值，这时矩形两边的长分别为2和，两边之比为8:；

②若0 <a≤2，此时函数P=无最大值，也就是说周长最大的内接矩形不存在．

综上所述，当a>2时，周长最大的内接矩形两边之比为8:；当0 <a≤2时，周长最大的内接矩形不存在．

变式2： 解：(I) 依题意设A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式分别为

　　　 　　　　f (x) = kx，g(x) = m，

由　 f (1) = k = 0.25， g(4) = 2m = 2.5 Þ m = ，

∴　 f (x) = x(x≥0)，g(x) = ．

(II) 设企业在 B 产品投资 x 万元，则在A 产品投资 10－x 万元，

∴　 企业的利润 y = (10－x) + = [－(－) ² + ](0≤x≤10)，

∴　 = ，即 x = 6.25 万元时，企业获得最大利润 ≈4 万元．

答：在A 产品投资 3.75 万元，在 B 产品投资6.25 万元，企业获得最大利润约 4万元．

变式3： 解：设，要使有意义，必须且，即，

∵，且……①　　

∴的取值范围是．

由①得：，

不妨设，．

(I)由题意知即为函数，的最大值，

当时，，，有=2；

当时，此时直线是抛物线的对称轴，

∴可分以下几种情况进行讨论：

(1)当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，

由知在上单调递增，故；

(2)当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，

若即时，，

若即时，，

若即时，．

综上所述，有=．

(II)若a>0，则>0，此时g(a)=g() Û a+2= +2 Û a = Þa =1(舍去a=－1)；

若－<a<0，则<－2，此时g(a)=g( ) Û a+2=Þ a=－2+<－(舍去)；

若－<a≤－，则－2≤<－，

此时g(a)=g( ) Û －a－= Þ a=－ (舍去)；

若－≤a≤－，则－≤≤－，

此时g(a)=g( ) Û =恒成立；

若－2≤a<－，则－<≤－，

此时g(a)=g( ) Û =－a－Þ a=－ (舍去)；

若a<－2，则－<<0，

此时g(a)=g( ) Û = a+2Þ a=－2+>－2 (舍去) ．

综上所述，满足的所有实数a为：或．