网址:http://1010pic.com/paper/timu/5160198.html[举报]
(三)解答题
17.如图,三角形ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP:PM的值.
解:设,则 又设 则由得 ∴ Þ ∴AP:PM=4∶1
18.设平面内两个向量a、b互相垂直,且|a|=2,|b|=1,又k与t是两个不同时为0的实数,
(1)若x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直,求k关于t的函数关系式k=f(t)
(2)求函数k=f(t)的最小值.
解:(1)因为a、b互相垂直,故a.b=0,
又x、y互相垂直,故x.y=0,即(a+(t-3)b).(-ka+tb)=0
Þ -ka2-k(t-3)a.b+ta.b+t(t-3)b2=0
∵|a|=2,|b|=1,a.b=0,
∴-4k+t2-3t=0
即k=f(t)=(t2-3t)
(2)由(1)知,k=(t-)2-
∴当t=时,函数的最小值为-.
19.如图:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点,棱长AA1=a.
(1)证明:AD⊥D1F;
(2)求AE与D1F所成的角;
(3)求四面体A1D1EF的体积。
解法一:设基底{}
∵ ABCD-A1B1C1D1是正方体,棱长为a
∴ =a
且
(1)∵
=
=0
∴
即 AD⊥D1F
(2)∵ cos<
=
=
=0
∴ <>=90º
也就是AE与D1F所成角为90º.
(3)取CC1中点G,因为EG∥平面A1D1F,则四面体A1D1EF的体积等于四面体A1D1GF的体积.
即VA1D1EF=VA1D1FG=S△D1FG.A1D1=×a2×a=a3.
解法二:以D为坐标原点,DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系。
于是有:D(0,0,0),A(a,0,0),D1(0,0,a),E(a,a,),F(0,,0)
∴ =(0,0,0)-(a,0,0)=(-a,0,0)
=(0,,0)-(0,0,a)=(0,,-a)
=(a,a,)-(a,0,0)=(0,a,)
=(0,,0)-(a,a,)=(-a,-,-)
(1)∵ =(-a,0,0).(0,,-a)=0
∴
即 AD⊥D1F
(2)∵ cos<=0
∴ <>=90º
(3)设平面A1D1F的一个法向量为=(x,y,z)
由且=(a,0,0)
∴x=0
由且=(0,,-a)
得y-2z=0
不妨设y=2,z=1,则=(0,2,1)
于是面A1D1F上的高为d=||==
而S△A1D1F=A1D1×D1F=a×a=a2
∴V=×a2×=a3.
20.已知两点M(-1,0),N(1,0),且点P使成公差小于零的等差数列.
(1)点P的轨迹是什么曲线?
(2)若点P坐标为(x0,y0),θ为与的夹角,求tanθ.
解:(1)记P(x,y),由M(-1,0),N(1,0)得=-=(-1-x,-y),
=-=(1-x,-y),=-=(2,0)
∴.=2(1+x),.=x2+y2-1,.=2(1-x).
于是,.,.,.是公差小于零的等差数列等价于
即
所以,点P的轨迹是以原点为圆心,为半径的右半圆.
(2)点P的坐标为(x0,y0).
.=x02+y02-1=2.
||.||=.
∴cosθ=
由θ∈[0,π],sinθ=
所以tanθ==|y0|
21.如图,在四棱锥E-ABCD中,
AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE,
AB=BC=CE=2CD= 2, ∠BCE=1200.
(1)求证:平面ADE⊥平面ABE ;
(2)求点C到平面ADE的距离.
解法一:取BE的中点O,连OC.
∵BC=CE, ∴OC⊥BE.又AB⊥平面BCE.
以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz如图,
则由已知条件有:,,
,
设平面ADE的法向量为n=,
则由n.
及n.
可取n
又AB⊥平面BCE. ∴AB⊥OC.OC⊥平面ABE
∴平面ABE的法向量可取为m=.
∵n.m.=0,
∴n⊥m∴平面ADE⊥平面ABE.
⑵点C到平面ADE的距离为
22.已知=(x,0),=(1,y),且(.
(1)求点P(x,y)的轨迹C的方程;
(2)若直线l:y=kx+m(m≠0)与曲线C交于A、B两点,D(0,-1),且有|AD|=|BD|,试求m的取值范围.
解:(1)由(
得2-32=0,即x2-3y2=0 故点P(x,y)的轨迹C的方程为-y2=1
(2)由方程组消去y得:(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0
显然1-3m2≠0,△=(6km)2-4(1-3k2)(-3m2-3)=12(m2+1-3k2)>0 (*)
设x1、x2为方程(*)的两个根,则x1+x2=
∴x0=,y0=kx0+m=
即AB的中点坐标为()
∴线段AB的垂直平分线方程为:y-=(-)(x-)
将D(0,-1)代入并化简得:4m=3k2-1
故m、k满足
消去k2得:m2-4m>0
∴m<0或m>4
又∵4m=3k2-1>-1,∴m>-
所以 m∈(-,0)∪(4,+∞).