1．    集合的所有子集个数为_________．8

2．    已知复数，（是虚数单位），若为纯虚数，则实数＝_________．

3．    直线x＋ay＋3＝0与直线ax＋4y＋6＝0平行的充要条件是_________．

a＝－2．

4．    函数的值域是_________．（0，＋∞）

5．    如图，程序执行后输出的结果为_________．64．

6．    椭圆的一条准线方程为，则________．5

7．    已知是两条不同的直线，为两个不同的平面，

有下列四个命题：

①若，m⊥n，则；

②若，则；

③若，则；

④若，则．

其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）_______________．①④

8．    在△ABC中，AB＝2，AC＝1，D为BC的中点，则＝_________．

9．    一颗正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数之和等于16的概率为_________．

10．设等差数列的公差为，若的方差为1，则=_________．

11．已知函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围为_________．

12．已知一个正三棱锥P－ABC的主视图如图所示，若AC＝BC＝，PC＝，则此正三棱锥的全面积为_________．

13．在锐角△ABC中，b＝2，B＝，，则△ABC的面积为_________．

14．已知命题：“在等差数列中，若，则为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为_________．18

15．（本小题满分14分）

已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调增区间；

（Ⅱ）已知，且，求α的值．

15．解：（Ⅰ）＝．………… 4分

由，得．

∴函数的单调增区间为 ．………… 7分

（Ⅱ）由，得．

∴．            ………………………………………… 10分

∴，或，

即或． 

∵，∴．     …………………………………………… 14分

16．（本小题满分14分）

已知数列的前n项和为，且．

（Ⅰ）求数列通项公式；

（Ⅱ）若，，求证数列是等比数列，并求数列的前项和．

16．解：（Ⅰ）n≥2时，．     ………………… 4分

n＝1时，，适合上式，

∴．               ………………… 5分

（Ⅱ），．          ………………… 8分

即．

∴数列是首项为4、公比为2的等比数列．   ………………… 10分

，∴．……………… 12分

T_n＝＝．            ………………… 14分

17．（本小题满分15分）

在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．

（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；

（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；

（Ⅲ）求证CE∥平面PAB．

17．解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，

∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．

在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，

∴CD＝2，AD＝4．

∴S_ABCD＝

．……………… 3分

则V＝．     ……………… 5分

（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，

∴AF⊥PC．            ……………… 7分

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．

∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．

∵E为PD中点，F为PC中点，

∴EF∥CD．则EF⊥PC．       ……… 9分

∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…… 10分

（Ⅲ）证法一：

取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．

∵EM 平面PAB，PA平面PAB，

∴EM∥平面PAB．   ……… 12分

在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，

∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．

∵MC 平面PAB，AB平面PAB，

∴MC∥平面PAB．  ……… 14分

∵EM∩MC＝M，

∴平面EMC∥平面PAB．

∵EC平面EMC，

∴EC∥平面PAB．   ……… 15分

证法二：

延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．

∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，

∴C为ND的中点．         ……12分

∵E为PD中点，∴EC∥PN．……14分

∵EC 平面PAB，PN 平面PAB，

∴EC∥平面PAB．   ……… 15分

18．（本小题满分15分）

经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t（件），价格近似满足（元）．

（Ⅰ）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；

（Ⅱ）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．

18．解：（Ⅰ） …… 4分

＝                        …………………… 8分

（Ⅱ）当0≤t＜10时，y的取值范围是[1200，1225]，

在t＝5时，y取得最大值为1225；               …………………… 11分

当10≤t≤20时，y的取值范围是[600，1200]，

在t＝20时，y取得最小值为600．               …………………… 14分

（答）总之，第5天，日销售额y取得最大为1225元；

第20天，日销售额y取得最小为600元．         …………………… 15分

19．（本小题满分16分）

已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线PF₁与圆C相切．

（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；

       （Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．

19．解：（Ⅰ）点A代入圆C方程，

       得．

∵m＜3，∴m＝1． …… 2分

圆C：．

设直线PF₁的斜率为k，

则PF₁：，

即．

∵直线PF₁与圆C相切，

∴．

解得．   …………………… 4分

当k＝时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．

当k＝时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为－4，

∴c＝4．F₁（－4，0），F₂（4，0）．            …………………… 6分

2a＝AF₁＋AF₂＝，，a²＝18，b²＝2．

椭圆E的方程为：．                …………………… 8分2

（Ⅱ），设Q（x，y），，

．           …………………… 10分

∵，即，

而，∴－18≤6xy≤18．     …………………… 12分

则的取值范围是[0，36]． ……… 14分

的取值范围是[－6，6]．

∴的取值范围是[－12，0]．   …………………… 16分

20．（本小题满分16分）

已知函数图象上一点P（2，f(2)）处的切线方程为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底，）；

（Ⅲ）令，如果图象与轴交于，AB中点为，求证：．

20．解：（Ⅰ），，．

∴，且．    …………………… 2分

解得a＝2，b＝1．                           …………………… 4分

（Ⅱ），令，

则，令，得x＝1（x＝－1舍去）．

在内，当x∈时，，∴h(x)是增函数；

当x∈时，，∴h(x)是减函数．     …………………… 7分

则方程在内有两个不等实根的充要条件是……10分

即．                                               …………………… 12分

（Ⅲ），．

假设结论成立，则有

①－②，得．

∴．

由④得，

∴．即．

即．⑤                              …………………… 14分

令，（0＜t＜1)，

则＞0．∴在0＜t＜1上增函数．

，∴⑤式不成立，与假设矛盾．

∴．                     ………………………………… 16分

数 学（附加题）

21．（选做题）从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分．

A．选修4―1　几何证明选讲

如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆

交AC于D．求证：．

B．选修4―2　矩阵与变换

已知矩阵，求特征值λ₁，λ₂及对应的特征向量α₁，α₂．

C．选修4―4　参数方程与极坐标

已知直线和圆，判断直线和圆的位置关系．

D．选修4―5　不等式证明选讲

若，证明  。

必做题（每题10分，共20分）

22。正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E为A₁A的中点。

（Ⅰ）求所成角的大小；

（Ⅱ）到平面的距离。

23．已知方程为常数。

（Ⅰ）若，，求方程的解的个数的期望；

（Ⅱ）若内等可能取值，求此方程有实根的概率．