2009年甘肃省第一次高三诊断考试数学试卷2009.3 考生注意:本试卷分第I卷和第II卷两部分.共150分．考试时间120分钟．题号一二三总分171819202122得分参考——青夏教育精英家教网—

2009年甘肃省第一次高三诊断考试数学试卷2009.3

考生注意：

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间120分钟．

题号

一

二

三

总分

得分

文本框: 球的表面积公式
S=4pR2
其中R表示球的半径．
球的体积公式
V= pR3，
其中R表示球的半径．参考公式：

如果事件A、B互斥，那么

P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互独立，那么

P(A?B)=P(A)?P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

第Ⅰ卷 (选择题，共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填入题后的括号内.

1．已知全集为U={1,2,3,4,5,6}，集合A={1,2,5}，集合B={1,3,4}，则(∁_UA)∩B= ( )

A．{1}　　　　　B．{2,5}　　　　　　C．{3,4}　　　　　D．{1,2,3,4,5}

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2．(理)复数的虚部是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　( )

A．1 　　B．－i 　　　　C．i 　　　　　D．－1

(文)有A、B、C三种零件，分别为a个、300个、200个，现采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，C种零件被抽取10个，则此三种零件的总数是　　　 ( )

A．900 B．800 C．600 D．700

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3．将函数y=sin2x的图象按向量a=(,1)平移后得到函数f(x)的图象，那么　　　　( )

A．f ( x ) = ?cos 2x + 1 B．f(x)=cos2x+1

C．f ( x ) = ?cos 2x ? 1 D．f(x)=cos2x?1

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4．已知m，n是两条不同直线，a，b，g是三个不同平面，下列命题中正确的是 (　　)

A．若m∥a，n∥a，则m∥n B．若a⊥g，b⊥g，则a∥b

C．若m∥a，m∥b，则a∥b 　 D．若m⊥a，n⊥a，则m∥n

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5．已知函数y=Asin(ωx+j)(A>0，ω>0，|j|<)的图象如图所示，则 ( )

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A．y=2sin(4x+) B．y=2sin(4x－)

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C．y=2sin(2x+) D．y=2sin(2x－)

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6．已知双曲线(a>0)的右焦点与抛物线y²=16x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于 ( )

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A． B． C． D．

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7．函数的y=(x≤－1)反函数是 ( )

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A．y=－(x≥0) B．y=(x≥0)

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C．y=－(x≥) D．y= (x≥)

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8．（理）数列{a_n}中a₃=2，a₇=1，如果数列{}是等差数列，那么a₁₁= (　　)

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A．0 B． C． D．1

（文）等差数列{a_n}中，S₁₀=120，那么a₂+a₉的值是 ( )

A．12 B．16 C．24 D．48

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9．设a=2^0.1，b=ln，c=log，则a、b、c的大小关系是 ( )

A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a

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10．向量a，b满足|a|=1，|a－b|=，a与b的夹角为60°，则|b|= ( )

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A．1 　　　 B．　　　 C．或 D．

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11．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)的最小正周期为3，且f(1)<1，

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f(2)=log(m²－m)，则m的取值范围是 ( )

A．－1<m<0 B．1<m<2tesoon

C．m>1或－1<m<0 D．－1<m<0或1<m<2

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12．（理）若三棱锥S―ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离为 ( )

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A． B．1 C． D．

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（文）已知侧棱为的正三棱锥S－ABC内接于球O，若球心O在正三棱锥S－ABC内，且O到底面ABC的距离为1，则球O的体积为 ( )

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A． B． C． D．

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

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二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在题中横线上．

13.（理）已知函数f(x)=若f(x)在R上连续，则=___________．

（文）若向量a=(1+2l，2－3l)与b=(4，1)共线，则l=___________．

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14．设x、y满足约束条件则z=x－y的最大值是_________．

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15．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m、n，则直线y=x与圆(x－3)²+y²=1相交的概率是___________．

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16．已知下列命题：

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①函数f(x)=sinx+(xÎ(0, p))的最小值是2；

②在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰直角三角形；

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③如果正实数a，b，c满足a+b=c，则；

④如果函数y=f(x)在某个区间内可导，则f′ (x)>0是函数y=f(x)在该区间上为增函数的充分不必要条件.

其中正确的命题有____________________(把所有正确的序号都填上)．

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三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)

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已知：A、B、C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m=(,cosA+1)，n=(sinA,－1)，m⊥n．

(Ⅰ)求角A的值；

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(Ⅱ)若a=2，cosB=，求b的值．

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18．(本小题满分12分)

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某射击比赛规则是：开始时在距离目标100米处射击，如果命中记3分，同时停止射击；若第一次射击未命中目标，则可以进行第二次射击，但目标已在150米处，这时命中记2分，同时停止射击；若第二次射击仍未命中目标，还可以进行第三次射击，此时目标已在200米远处，这时命中记1分，同时停止射击；若三次射击都未命中目标，则记0分．已知甲射手在100米处击中目标的概率是，他命中目标的概率与距离的平方成反比，且各次射击是相互独立的．

(1)求射手甲分别在150米和200米处命中目标的概率；

(2)(理科做)设x为射手甲在该射击比赛中的得分，求Ex．

(文科做)求射手甲在该射击比赛中能得分的概率．

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19．(本小题满分12分)

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如图，在直三棱柱A₁B₁C₁―ABC中，AC⊥CB，D为AB中点，CB=1，AC=，A₁A=．

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(Ⅰ)求证：BC₁∥平面A₁CD；

(Ⅱ)求二面角A―A₁C―D的大小．

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20．(本小题满分12分)

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已知函数f(x)=，数列{a_n}满足a₁=1，a_n₊₁= f()，nÎN^*．

(Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式；

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(Ⅱ) (理科做)令b_n=(n≥2)，b₁=，S_n=b₁+b₂+???+ b_n，若S_n<对一切nÎN^*成立，求最小正整数m．

(文科做)令b_n=(a_2n-1－a_2n+1)a_2n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

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21．(本小题满分12分)

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已知直线y=－x+1与椭圆(a>b>0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l：x－2y=0上．

(Ⅰ)求此椭圆的离心率；

(Ⅱ)若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x²+y²=4上，求此椭圆的方程．

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22．(本小题满分12分)

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(理科做)已知函数 f(x)=(x≥1)．

(Ⅰ)试判断f(x)的单调性，并说明理由；

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(Ⅱ)若f(x)≥恒成立，求实数k的取值范围；

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(Ⅲ)求证：．

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(文科做)已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c，过曲线y=f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y=3x+1．

(Ⅰ)若函数f(x)在x=－2处有极值，求f(x)的表达式；

(Ⅱ)若函数y=f(x)在区间[－2,1]上单调递增，求实数b的取值范围．

2009年甘肃省第一次高三诊断考试试卷

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第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

题号

答案

文A

理D

文C

理B

文C

理C

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

14.(理)3 （文） 14.2 15. 16. ③④

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．本小题满分10分

解：(Ⅰ)∵m⊥n，

∴m?n=(,cosA+1)?(sinA,－1)=sinA－(cosA+1)=0，

∴sinA－cosA=1，………………………………………………………………2分

∴sin(A－)=．…………………………………………………………………3分

∵0<A<p，∴，∴，………………………………5分

∴A=．……………………………………………………………………………6分

(Ⅱ)在△ABC中，A=，a=2，cosB=，

∴sinB=．……………………………………………7分

由正弦定理知：，…………………………………………………8分

∴b=，∴b=．……………………………………10分

18．(本小题满分12分)

解：（1）由甲射手命中目标的概率与距离的平方成反比，可设，

∵，∴， ……………………………………… 2分

∴，. ……………………………………………… 4分

∴，.…………………………… 6分

（2）（理）的所有可能取值为0，1，2，3.

, …………………………… 7分

， ………………………………… 8分

， …………………………………………… 9分

. …………………………………………………………… 10分

∴. …………………… 12分

（文）记“射手甲在该射击比赛中能得分”为事件A，则

，…………………… 9分

∴. ………………………… 12分

19．(本小题满分12分)

解：(Ⅰ)证明：连接AC₁，设AC₁∩A₁C=E，连接DE．………………1分

∵A₁B₁C₁―ABC是直三棱柱，且AC=AA₁=，

∴AA₁C₁C是正方形，E是AC₁中点，

又D为AB中点，∴ED∥BC₁．……………………………………3分

又EDÌ平面A₁CD，BC₁Ë平面A₁CD，

∴BC₁∥平面A₁CD．…………………………………………………4分

(Ⅱ)解法一：设H是AC中点，F是EC中点，连接DH，HF，FD．……5分

∵D为AB中点， ∴DH∥BC，同理可证HF∥AE，又AC⊥CB，故DH⊥AC．

又侧棱AA₁⊥平面ABC，

∴AA₁⊥DH， ∴DH⊥平面AA₁C₁C．…………………7分

由(Ⅰ)得AA₁C₁C是正方形，则A₁C⊥AE，∴A₁C⊥HF．

∵HF是DF在平面AA₁C₁C上的射影，∴DF⊥A₁C．

∴∠DFH是二面角A―A₁C―D的平面角．…8分

又DH=，HF=．…10分

∴在直角三角形DFH中，tan∠DFH=．…11分

∴二面角A―A₁C―D的大小为arctan．……………………12分

解法二：在直三棱柱A₁B₁C₁―ABC中，∵AC⊥CB，∴分别以CA，CB，CC₁所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系C?xyz．因为BC=1，AA₁=AC=，则

C(0,0,0)，A(,0,0)，B(0,1,0)，D，…………5分

设平面A₁DC的法向量为n=(x,y,z)，则

， …………………………6分

∵=，=(,0,)，

∴ ，则．…7分

取x=1，得平面A₁DC的一个法向量为n=(1,－,－1)，…………9分

m==(0,1,0)为平面CAA₁C₁的一个法向量．………………………10分

cos<m?n>=．………………………………11分

由图可知，二面角A―A₁C―D的大小为arccos．………………12分

20．(本小题满分12分)

解：(Ⅰ)∵a_n₊₁= f()=．…………………………3分

∴{a_n}是以为公差的等差数列．

又a₁=1，∴a_n=． ………………………………………(理)5分(文)6分

(Ⅱ) (理)当n≥2时，，

又b₁==，

∴S_n=b₁+b₂+???+b_n=．…8分

∵S_n<，对nÎN^*成立．

∵关于n递增，且当n®+∞时，及，

∴，m≥2009．∴最小正整数m=2009．………………………12分

（文）T_n=a₂(a₁－a₃)+a₄(a₃－a₅)+???+a_2n(a_2n-1－a_2n+1)

=－(a₂+a₄+???+a_2n) ………………………………………………8分

=．…………………………………12分

21．(本小题满分12分)

解：(Ⅰ)由得(a²+b²)x²－2a²x+a²－a²b²=0，…………………2分

设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，AB中点为M(x₀，y₀)．

∴x₁+x₂=，x₀=，y₀=－x₀+1=，……………………4分

∴M(，)，代入x－2y=0

得a²=2b²，∴，……………………………………………………5分

∴e=．………………………………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆方程可化为， ……………………………7分

所以右焦点F₂(b，0)关于直线l：x－2y=0的对称点F₂′(b，b)，……9分

将其代入x²+y²=4，得(b)²+(b)²=4，∴b²=4．…………………………10分

所以椭圆的方程为．…………………………………………12分

22．(本小题满分12分)

解：(理)(Ⅰ) f′(x)=－，∵x≥1，∴lnx≥0，∴f′(x)≤0，故f(x)在[1,+∞)递减．……4分

(Ⅱ) f(x)≥Û≥k，记g(x)=，

则g′(x)=．…………………………5分

再令h(x)=x－lnx，则h′(x)=1－．

∵x≥1，∴h′(x)≥0，∴h(x)在[1,+∞)上递增………………………………………6分

∴[h(x)]_min=h(1)=1>0，从而g′(x)>0，故g(x)在[1,+∞)上也单调递增． ………7分

∴[g(x)]_min=g(1)=2，∴k≤2．………………………………………………………8分

(Ⅲ)证法1：用数学归纳法，略

证法2：由(Ⅱ)知：f(x)≥恒成立，即．

令x=n(n+1)，则，………………………………9分

∴，，，…，

，……………………………………………………10分

将以上不等式相加得：

．……………………………………12分

(文)解：(Ⅰ )由f(x)=x³+ax²+bx+c，求导数得f′(x)=3x²+2ax+b．…………1分

过y=f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为：y－f(1)=f′(1)(x－1)，

即y－(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x－1)．…………………………………………3分

而过y=f(x)上的点P(1，f(1)) 的切线方程为y=3x+1，

故即…………………………………………4分

∵f(x)在x=－2处有极值，故f′(－2)=0，∴－4a+b=－12，③……………5分

由①②③得a=2，b=－4，c=5．

∴f(x)=x³+2x²－4x+5．…………………………………………………………6分

(Ⅱ )解法一：y=f(x)在[－2,1]上单调递增，又f′(x)=3x²+2ax+b，由①知2a+b=0．

依题意f′(x)在[－2,1]上恒有f′(x)≥0，即3x²－bx+b≥0．……………………8分

①当x=≥1时，f′(x)_min=f′(1)=3－b+b>0，∴b≥6；………………………9分

②当x=≤－2时，f′(x)_min=f′(－2)=12+2b+b≥0，∴bÎÆ；………………10分

③当－2≤≤1时，f′(x)_min=≥0，则0≤b≤6．………………………11分

综上所述，参数b的取值范围是[0,+∞)．……………………………………12分

解法二：同)解法一，可得3x²-bx+b≥0．………………………………………8分

即b(x－1)≤3x²．

当x=1时，不等式显然成立．

当x≠1时，x－1<0，∴b≥．……………………………………………10分

∵=3(x－1)++6≤－6+6=0，

∴b≥0．…………………………………………………………………………12分

数学既重基础又突出考查主线

西北师大附中高级教师李树林

　　试卷点评:本试卷题型配置合理，考查知识点覆盖全面,试题严谨准确，无科学性知识性错误。思维量、计算量适中。更值得一提的是试卷平和温馨，无偏题怪题，既重基础又突出考查主线，学生倍感亲切。这既对后期复习具有良好的导向作用，尤其是对稳定学生情绪，鼓舞士气发挥重要作用。总之，本试卷与近年高考题相比更接近。如果多出现一些创新题将更能体现课改精神。另外，应加大压轴题的分量，特别是21题分量明显不足。

　　复习建议:合理定位，“量身”制定复习方案。后期复习对自己恰当定位很重要。夺三甲、进前十、奔名校、够重点、上普本，一定要有自己的具体目标要求。你在什么层面，就要进行相对应的复习。既敢追求又能舍弃。基础未过关的，宁可再打基础也要舍弃综合性的问题，想拔高的就要对一些“尖端”问题猛攻。

　　力所能及地做好专题复习。首先做好6个方向的专题复习：向量与三角问题专题、向量与立体几何问题专题、概率与统计问题专题、函数与不等式问题专题、数列与不等式问题专题、解析几何问题专题。建议自己进行专题组卷，比如三角题，将近年三角考题精选十余道组成试卷进行专题练习。其次做好思想方法专题复习。另外，有些典型问题也可以专题题组的方式复习。如分段函数，选择相关题目组成专题卷，内容包括单调性、奇偶性、值域、反函数等等，这样做复习效果倍增。

　　做好临场训练：关注应试技法，如客观题用画图、检验等特殊方法，特别是选择题要用好选择这一“拐杖”；重视解题程序的训练：如用向量法解立体几何题的步骤、用直译法求轨迹方程的步骤、直线与圆锥曲线问题的求解步骤、解概率题的步骤、画数据的频率分布直方图的步骤、用数学归纳法证明问题的步骤、求线性规划问题的步骤等等；做好答卷规范性的训练:特别是今年实行网上阅卷对答题规范性要求更高，必须及早训练否则一定影响考试效果。

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