2009届高考数学第三轮复习精编模拟五
参考公式：
如果事件
互斥，那么
球的表面积公式
如果事件相互独立，那么
其中
表示球的半径
球的体积公式
如果事件
在一次试验中发生的概率是
，那么
次独立重复试验中事件恰好发生
次的概率
其中表示球的半径
第一部分 选择题（共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、设
为全集，
是的三个非空子集，且
，则下面论断正确的是 （ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（A）
； （B）
；
（C）
；（D）
.
2、已知
、
是非零向量且满足(－2) ⊥，(－2) ⊥，则与的夹角是 （ ）
(A).
(B) 
(C).
(D).
3、已知
，则
等于 （ ）
A、
B、
C、
D、
4、已知
，
为常数，且
，则函数
必有一周期为： （ ）
A、2 B、 C、4 D、5
5、
交于A、B两点，且
，则直线AB的方程为： （ ）
A、
B、
C、
D、
6、我国储蓄存款采取实名制并征收利息税，利息税由各银行储蓄点代扣代收。某人在2001年9月存入人民币1万元，存期一年，年利率为2.25%，到期时净得本金和利息共计10180元，则利息税的税率是： （ ）
A、8% B、20% C、32% D、80%
7、不等式
的解集是（ ）
A、
B、
C、{4，5，6} D、{4，4.5，5，5.5，6}
8、七人并排站成一行，如果甲、乙两人必需不相邻，那么不同的排法的种数是（ ）
（A） 1440 （B） 3600 （C） 4320 （D） 4800
9、若关于
的方程
只有一个实数根，则
的取值范围为（ ）
A、=0
B、=0或>1
C、>1或<-1 D、=0或>1或<-1
10、一个四面体的所有棱长都为
，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
（A）3
（B）4 （C）3
（D）6
第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．每小题5分，满分20分．
11、已知函数
在区间
上为增函数，则实数a的取值范围是 。
12、有些计算机对表达式的运算处理过程实行“后缀表达式”：运算符号紧跟在运算对象的后面，按照从左到右的顺序运算，如表达式
，其运算为：
，若计算机进行运算：
，那么使此表达式有意义的的范围为 _____________ ．
13、若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 （只需写出一个可能的值）．
14、(坐标系与参数方程选做题)
极坐标系中，点P
到直线：
的距离是 ．
15．(几何证明选讲选做题) 如图，圆 O 的割线 PBA 过圆心 O，弦 CD 交 PA 于点F，且△COF∽△PDF，PB = OA = 2，则PF = 。
三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
已知命题
：方程
有两个不等的负实根；
：方程
无实根．若“或”为真，“且”为假，求实数
的取值范围．
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，已知
．
(1) 求AB边的长度；
(2)
证明：
；
（3）若
,求
．
18．（本小题满分14分）
已知函数
图像上一点
处的切线方程为
，其中
为常数.
（Ⅰ）函数是否存在单调减区间？若存在，则求出单调减区间（用表示）；
（Ⅱ）若
不是函数的极值点，求证：函数的图像关于点
对称.
19．（本小题满分14分）
如图，四棱锥S―ABCD的底面是边长为1的正方形，
SD垂直于底面ABCD，SB=
.
（I）求证BC
SC；
（II）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；
（III）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小.
20．（本小题满分14分）
设圆
过点P(0,2), 且在轴上截得的弦RG的长为4.
(１)求圆心的轨迹E的方程；
(２)过点
(０，１)，作轨迹
的两条互相垂直的弦
、
，设、 的中点分别为、
，试判断直线
是否过定点？并说明理由．
21．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系上，设不等式组
（
）
所表示的平面区域为
，记内的整点（即横坐标和纵坐标均
为整数的点）的个数为
.
（Ⅰ）求
并猜想
的表达式再用数学归纳法加以证明；
（Ⅱ）设数列
的前
项和为
，数列
的前项和
,
是否存在自然数m？使得对一切，
恒成立。若存在，
求出m的值，若不存在，请说明理由。
一．选择题：CBDCC BDBDA
解析：1: 由文氏图可得结论（C）.
2：由已知得：(
－2
)
=0，(－2) =0；即得：
=
=2，∴cos<，>=
，∴选(B)
3：由于受条件sin2θ+cos2θ=1的制约，故m为一确定的值，于是sinθ,cosθ的值应与m的值无关，进而推知tan
的值与m无关，又
<θ<π，
<<,∴tan>1，故选D。
4：由于
，从而函数
的一个背景为正切函数tanx，取
，可得必有一周期为4
。故选C。
5：解此题具有很大的迷惑性，注意题目隐含直线AB的方程就是
，它过定点（0，2），只有C项满足。故选C。
6：生活常识告诉我们利息税的税率是20%。故选B。
7：四个选项中只有答案D含有分数，这是何故？宜引起高度警觉，事实上，将x值取4.5代入验证，不等式成立，这说明正确选项正是D，而无需繁琐地解不等式。
8：（用排除法）七人并排站成一行，总的排法有
种，其中甲、乙两人相邻的排法有2×
种.因此，甲、乙两人必需不相邻的排法种数有：－2×＝3600，对照后应选B；
9:作直线
的图象和半圆
,从图中可以看出: 的取值范围应选(D).
注:求与方程实数根个数有关的问题常用图解法.
10：如图，将正四面体ABCD补形成正方体，则正四面体、正方体的中心与其外接球的球心共一点.因为正四面体棱长为
，所以正方体棱长为1，从而外接球半径R＝
.故S球＝3
.
二．填空题：11、
； 12、
； 13、
或
或
；
14、＋1； 15、3；
解析：11：
，由复合函数的增减性可知，
在
上为增函数，∴
，∴。
12：计算机进行运算：
时，它表示的表达式是
，当其有意义时，得
，解得．
13： 本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为：
, ,，故应填.、 、 中的一个即可.
14.解：直线：
化为一般方程：
，点P
化为点
，则点到直线的距离为
15解：由△COF∽△PDF得
，即
=
=
=
，即
=
，
解得
，故
=3
三．解答题：
16.解：当P为真时，有
……4分
当Q为真时，有
……5分
……6分
由题意:“P或Q”真，“P且Q”为假 等价于
（1）P真Q假：
……8分
（2）Q真P假：
……11分
综合（1）（2）
的取值范围是
……12分
17.解：（1）∵
∴
∵
∴
, 
即AB边的长度为
……………………3分
(2) 由
得
-------------①
即
-------------②
由①②得
, 由正弦定理得
∴
∴
-- ……………………8分
(3) ∵
，由（2）中①得
由余弦定理得
=
∴
=
- ……………………12分
18．解：（Ⅰ）
，
， ……………1分
由题意，知
，
，
即
……………………2分
…………………3分
①
当
时，
，函数在区间
上单调增加，
不存在单调减区间； ……………………5分
②
当
时，
，有
+
-
+
当时，函数存在单调减区间，为
……………7分
③
当
时， 
，有
+
-
+
当时，函数存在单调减区间，为
…………9分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：若
不是函数的极值点，则，
…………………10分
设点
是函数的图像上任意一点，则
，
点关于点
的对称点为
，
（或 
）
点在函数的图像上.
由点
的任意性知函数的图像关于点
对称.
…………………14分
19． [方法一]：（几何法）
（I）证法一：如图1，∵底面ABCD是正方形， ∴BC⊥DC.
∵SD⊥底面ABCD，∴DC是SC在平面ABCD上的射影，
由三垂线定理得BC⊥SC. …………3分
证法二：如图1，∵底面ABCD是正方形， ∴BC⊥DC.
∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥BC，又DC∩SD=D， 图1
∴BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC. …………3分
（II）解法一：∵SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，
∴可把四棱锥S―ABCD补形为长方体A1B1C1S―ABCD，
如图2，面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角，
∵SC⊥BC，BC//A1S， ∴SC⊥A1S，
又SD⊥A1S，∴∠CSD为所求二面角的平面角.
在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=，在Rt△SDC中，
由勾股定理得SD=1.
∴∠CSD=45°.即面ASD与面BSC所成的二面角为45°. ……………8分
解法二：如图3，过点S作直线
在面ASD上，
∵底面ABCD为正方形，
在面BSC上，
为面ASD与面BSC的交线.
∴∠CSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角.
在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=，在Rt△SDC中，
由勾股定理得SD=1.
∴∠CSD=45°.即面ASD与面BSC所成的二面角
为 45°。…8分
（III）解法一：如图3， ∵SD=AD=1，∠SDA=90°， ∴△SDA是等腰直角三角形.
又M是斜边SA的中点， ∴DM⊥SA.
∵BA⊥AD，BA⊥SD，AD∩SD=D，∴BA⊥面ASD，SA是SB在面ASD上的射影.
由三垂线定理得DM⊥SB. ∴异面直线DM与SB所成的角为90°. ……………14分
解法二：如图4，取AB中点P，连结MP，DP.
在△ABS中，由中位线定理得 MP//SB，
是异面直线DM与SB所成的角.
，
又
∴在△DMP中，有DP2=MP2+DM2， 
即异面直线DM与SB所成的角为90°. ……………14分
[方法二]：（向量法）
解析：如图所示，以D为坐标原点建立直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
M（，0，），
∵ SB=
，DB=，SD=1，∴ S（0，0，1），……………2分
（I）证明：∵ 
，
=0 ∴ 
，即BC
SC．……………5分
（II）设二面角的平面角为θ，由题意可知平面ASD的一个法向量为
，设平面BSC的法向量为
，由
，
得
，
∴ 面ASD与面BSC所成的二面角为45°．……………10分
（III）设异面直线DM与SB所成角为α，
∵ 
，SB=(-1,-1,1),得
∴ 异面直线DM与SB所成角为90°．……………14分
20.解：(1)设圆心
的坐标为
，如图过圆心作
轴于H,
则H为RG的中点，在
中，
…3分
∵
∴
即
…………………6分
(2) 设
，
直线AB的方程为
（
）则
-----①
---②
由①－②得
，∴
，………………9分
∵点
在直线上， ∴
．
∴点Ｍ的坐标为
． ………………10分
同理可得：
, 
,
∴点
的坐标为
． ………………11分
直线
的斜率为
，其方程为
，整理得
，………………13分
显然，不论为何值，点
均满足方程，
∴直线恒过定点．……………………14分
21.解：（Ⅰ）当n＝1时，D1为Rt△OAB1的内部包括斜边，这时
，
当n＝2时，D2为Rt△OAB2的内部包括斜边，这时
，
当n＝3时，D3为Rt△OAB3的内部包括斜边，这时
，……， ---3分
由此可猜想
＝3n。
--------------------------------------------------4分
下面用数学归纳法证明:
(1) 当n＝1时，猜想显然成立。
(2) 假设当n＝k时，猜想成立，即
，（
） ----5分
如图，平面区域
为Rt
内部包括斜边、平面区域
为
Rt△
内部包括斜边，∵平面区域比平面区域多3
个整点， ------- 7分
即当n＝k+1时，
，这就是说当n＝k+1时，
猜想也成立，
由（1）、（2）知＝3n对一切
都成立。 ---------------------8分
（Ⅱ）∵＝3n, ∴数列
是首项为3，公差为3的等差数列,
∴
.
-------------------------10分
=
=
-------------------------------11分
∵对一切，
恒成立, ∴
∵
在
上为增函数 ∴
---13分
，满足
的自然数为0，
∴满足题设的自然数m存在，其值为0。 -------------------------14分
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