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    (Ⅱ)若不是函数的极值点.求证:函数的图像关于点对称. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知函数f（x）=x（x-a）（x-b），点A（s，f（s）），B（t，f（t））．
    （1）若a=0，b=3，函数f（x）在（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，求t的取值范围；
    （2）当a=0时，
    f(x)
    x
    +lnx+1≥0    对任意的x∈[
    1
    2
    ，+∞)    恒成立，求b的取值范围；
    （3）若0＜a＜b，函数f（x）在x=s和x=t处取得极值，且a+b＜2
    		3
    ，O是坐标原点，证明：直线OA与直线OB不可能垂直．

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    已知函数f（x）=ax+bsinx，当x=
    π
    3
    时，f（x）取得极小值
    π
    3
    -
    		3
    ．
    （1）求a，b的值；
    （2）设直线l：y=g（x），曲线S：y=F（x）．若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：
    ①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；
    ②对任意x∈R都有g（x）≥F（x）．则称直线l为曲线S的“上夹线”．
    试证明：直线l：y=x+2是曲线S：y=ax+bsinx的“上夹线”．
    （3）记h(x)=
    1
    8
    [5x-f(x)]    ，设x1是方程h（x）-x=0的实数根，若对于h（x）定义域中任意的x2、x3，当|x2-x1|＜1，且|x3-x1|＜1时，问是否存在一个最小的正整数M，使得|h（x3）-h（x2）|≤M恒成立，若存在请求出M的值；若不存在请说明理由．

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    已知函数f（x）=（ax2+bx+c）ex在x=1处取得极小值，其图象过点A（0，1），且在点处切线的斜率为-1．
    （Ⅰ）求f（x）的解析式；
    （Ⅱ）设函数g（x）的定义域D，若存在区间[m，n]⊆D，使得g（x）在[m，n]上的值域也是[m，n]，则称区间[m，n]为函数g（x）的“保值区间”．
    （ⅰ）证明：当x＞1时，函数f（x）不存在“保值区间”；
    （ⅱ）函数f（x）是否存在“保值区间”？若存在，写出一个“保值区间”（不必证明）；若不存在，说明理由．

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    已知函数f（x）=（ax2+bx+c）ex在x=1处取得极小值，其图象过点A（0，1），且在点处切线的斜率为-1．
    （Ⅰ）求f（x）的解析式；
    （Ⅱ）设函数g（x）的定义域D，若存在区间[m，n]⊆D，使得g（x）在[m，n]上的值域也是[m，n]，则称区间[m，n]为函数g（x）的“保值区间”．
    （ⅰ）证明：当x＞1时，函数f（x）不存在“保值区间”；
    （ⅱ）函数f（x）是否存在“保值区间”？若存在，写出一个“保值区间”（不必证明）；若不存在，说明理由．

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    已知函数f（x）=（ax2+bx+c）ex在x=1处取得极小值，其图象过点A（0，1），且在点处切线的斜率为-1．
    （Ⅰ）求f（x）的解析式；
    （Ⅱ）设函数g（x）的定义域D，若存在区间[m，n]⊆D，使得g（x）在[m，n]上的值域也是[m，n]，则称区间[m，n]为函数g（x）的“保值区间”．
    （ⅰ）证明：当x＞1时，函数f（x）不存在“保值区间”；
    （ⅱ）函数f（x）是否存在“保值区间”？若存在，写出一个“保值区间”（不必证明）；若不存在，说明理由．

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    一．选择题：CBDCC BDBDA

    解析：1: 由文氏图可得结论（C）.

    2：由已知得：(－2)=0，(－2) =0；即得：==2，∴cos<，>=，∴选(B)

     

    3：由于受条件sin2θ+cos2θ=1的制约，故m为一确定的值，于是sinθ,cosθ的值应与m的值无关，进而推知tan的值与m无关，又<θ<π，<<,∴tan>1，故选D。

    4：由于，从而函数的一个背景为正切函数tanx，取，可得必有一周期为4。故选C。

     

    5：解此题具有很大的迷惑性，注意题目隐含直线AB的方程就是，它过定点（0，2），只有C项满足。故选C。

     

    6：生活常识告诉我们利息税的税率是20%。故选B。

     

    7：四个选项中只有答案D含有分数，这是何故？宜引起高度警觉，事实上，将x值取4.5代入验证，不等式成立，这说明正确选项正是D，而无需繁琐地解不等式。

     

    8：（用排除法）七人并排站成一行，总的排法有种，其中甲、乙两人相邻的排法有2×种.因此，甲、乙两人必需不相邻的排法种数有：－2×＝3600，对照后应选B；

    9:作直线的图象和半圆,从图中可以看出: 的取值范围应选(D).

    注:求与方程实数根个数有关的问题常用图解法.

    10：如图，将正四面体ABCD补形成正方体，则正四面体、正方体的中心与其外接球的球心共一点.因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径R＝.故S球＝3.

     

     

     

     

    二．填空题：11、；  12、； 13、或或；

    14、＋1；  15、3；

    解析：11：，由复合函数的增减性可知，在上为增函数，∴，∴。

    　12：计算机进行运算：时，它表示的表达式是，当其有意义时，得，解得．

    13： 本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为： , ,，故应填.、 、 中的一个即可.

    14.解：直线：化为一般方程：，点P化为点，则点到直线的距离为

    15解：由△COF∽△PDF得，即=

    ==，即=，

    解得，故=3

    三．解答题：

    16.解：当P为真时，有   ……4分

     当Q为真时，有  ……5分

                ……6分

    由题意:“P或Q”真，“P且Q”为假 等价于                         

    （1）P真Q假：           ……8分

    （2）Q真P假：     ……11分                  

    综合（1）（2）的取值范围是 　……12分

    17.解：（1）∵∴

    ∵   ∴, 即AB边的长度为  ……………………3分

    (2)　由 得-------------①

      即-------------②

    由①②得,   由正弦定理得

    ∴    ∴-- ……………………8分

    (3) ∵，由（2）中①得  由余弦定理得= 

    ∴=- ……………………12分

    18．解：（Ⅰ），，     ……………1分

    由题意，知，，

    即                                    ……………………2分

                   …………………3分

    ①     当时，，函数在区间上单调增加，

    不存在单调减区间；                                       ……………………5分

    ②     当时，，有

    +

    -

    +

    当时，函数存在单调减区间，为         ……………7分

    ③     当时， ，有

    +

    -

    +

    当时，函数存在单调减区间，为           …………9分

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知：若不是函数的极值点，则，

                …………………10分

    设点是函数的图像上任意一点，则，

    点关于点的对称点为，

    （或     ）

    点在函数的图像上.

    由点的任意性知函数的图像关于点对称.          …………………14分

    19． [方法一]：（几何法）

    （I）证法一：如图1，∵底面ABCD是正方形，  ∴BC⊥DC.

    ∵SD⊥底面ABCD，∴DC是SC在平面ABCD上的射影，               

    由三垂线定理得BC⊥SC. …………3分

    证法二：如图1，∵底面ABCD是正方形，  ∴BC⊥DC.          

    ∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥BC，又DC∩SD=D，                     图1

    ∴BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC. …………3分

    （II）解法一：∵SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，

    ∴可把四棱锥S―ABCD补形为长方体A1B1C1S―ABCD，

    如图2，面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角，

    ∵SC⊥BC，BC//A1S， ∴SC⊥A1S，

    又SD⊥A1S，∴∠CSD为所求二面角的平面角.

    在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=，在Rt△SDC中，

    由勾股定理得SD=1.

    ∴∠CSD=45°.即面ASD与面BSC所成的二面角为45°. ……………8分

    解法二：如图3，过点S作直线*在面ASD上，

    ∵底面ABCD为正方形，在面BSC上，

    *为面ASD与面BSC的交线.

    ∴∠CSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角.

    在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=，在Rt△SDC中，

     由勾股定理得SD=1.

    ∴∠CSD=45°.即面ASD与面BSC所成的二面角

    为 45°。…8分

    （III）解法一：如图3， ∵SD=AD=1，∠SDA=90°， ∴△SDA是等腰直角三角形.

    又M是斜边SA的中点，  ∴DM⊥SA. 

    ∵BA⊥AD，BA⊥SD，AD∩SD=D，∴BA⊥面ASD，SA是SB在面ASD上的射影.

    由三垂线定理得DM⊥SB.  ∴异面直线DM与SB所成的角为90°. ……………14分

    解法二：如图4，取AB中点P，连结MP，DP.

    在△ABS中，由中位线定理得 MP//SB，是异面直线DM与SB所成的角.

    ，

    又

    ∴在△DMP中，有DP2=MP2+DM2， 

    即异面直线DM与SB所成的角为90°. ……………14分

    [方法二]：（向量法）

    解析：如图所示，以D为坐标原点建立直角坐标系，

    则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），

    M（，0，），

    ∵　SB=，DB=，SD=1，∴　S（0，0，1），……………2分

    （I）证明：∵　 ，

    =0   ∴　，即BCSC．……………5分

    （II）设二面角的平面角为θ，由题意可知平面ASD的一个法向量为，设平面BSC的法向量为，由，

    得，

    ∴　面ASD与面BSC所成的二面角为45°．……………10分

    （III）设异面直线DM与SB所成角为α，

    ∵　，SB=(-1,-1,1),得

    ∴　异面直线DM与SB所成角为90°．……………14分

    20.解：(1)设圆心的坐标为，如图过圆心作轴于H,

    则H为RG的中点，在中，…3分

    ∵ ∴  

    即  …………………6分

     (2) 设，

    直线AB的方程为（）则-----①---②

    由①－②得，∴，………………9分

    ∵点在直线上， ∴．

    ∴点Ｍ的坐标为． ………………10分

    同理可得：, ,

    ∴点的坐标为． ………………11分

    直线的斜率为，其方程为

    ，整理得，………………13分

    显然，不论为何值，点均满足方程，

    ∴直线恒过定点．……………………14分

     

    21.解：（Ⅰ）当n＝1时，D1为Rt△OAB1的内部包括斜边，这时，

            当n＝2时，D2为Rt△OAB2的内部包括斜边，这时，

            当n＝3时，D3为Rt△OAB3的内部包括斜边，这时，……， ---3分

    由此可猜想＝3n。 --------------------------------------------------4分

    下面用数学归纳法证明:

    (1)  当n＝1时，猜想显然成立。

    (2)  假设当n＝k时，猜想成立，即，（） ----5分

    如图，平面区域为Rt内部包括斜边、平面区域为

    Rt△内部包括斜边，∵平面区域比平面区域多3

    个整点， ------- 7分            

     即当n＝k+1时，，这就是说当n＝k+1时，

    猜想也成立，

    由（1）、（2）知＝3n对一切都成立。 ---------------------8分

    （Ⅱ）∵＝3n,   ∴数列是首项为3，公差为3的等差数列,

    ∴.

      -------------------------10分

        == -------------------------------11分

    ∵对一切，恒成立,   ∴

    ∵在上为增函数 ∴ ---13分

    ，满足的自然数为0，

    ∴满足题设的自然数m存在，其值为0。 -------------------------14分


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