Question

已知函数f（x）=ax+bsinx，当x=

π

3

时，f（x）取得极小值

π

3

-

3

．
（1）求a，b的值；
（2）设直线l：y=g（x），曲线S：y=F（x）．若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：
①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；
②对任意x∈R都有g（x）≥F（x）．则称直线l为曲线S的“上夹线”．
试证明：直线l：y=x+2是曲线S：y=ax+bsinx的“上夹线”．
（3）记h(x)=

1

8

[5x-f(x)]，设x₁是方程h（x）-x=0的实数根，若对于h（x）定义域中任意的x₂、x₃，当|x₂-x₁|＜1，且|x₃-x₁|＜1时，问是否存在一个最小的正整数M，使得|h（x₃）-h（x₂）|≤M恒成立，若存在请求出M的值；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意，求出函数的导数再代入可得方程组，求解即可；
（2）设直线l：g（x）=x+2，曲线S：f（x）=ax+bsinx，求出f（x）的导数，因为直线斜率为1，由f'（x）=1-2cosx=1可得极值点，再验证得到直线与曲线f（x）的切点，利用g（x）≥F（x）也可作差得到结论．
（3）本问可求出h（x）的最大值和最小值然后转化为|h（x₃）-h（x₂）|_max=|h（x）_max-h（x）_min|小于某个正整数M即可；本问题也可以利用函数的单调性来求解，只需做一个转化h（x）与x的关系，为此可构造函数h（x）-x，于是可以证得结论．

解答：（1）由已知f'（x）=a+bcosx，于是得：

f′( π 3 )=0 f( π 3 ) = π 3 - 3

代入可得：a=1，b=-2…（3分）
（2）由f'（x）=1-2cosx=1，得cosx=0，当x=-

π

2

时，cosx=0此时y1=-

π

2

+2，y2=-

π

2

+2，y₁=y₂所以(-

π

2

，-

π

2

+2)是直线l与曲线S的一个切点，当x=

3π

2

时，cosx=0，y1=

3π

2

+2，y2=

3π

2

+2，y₁=y₂
所以(

3π

2

，

3π

2

+2)是直线l与曲线S的一个切点  所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点…（6分）
对任意x∈R，g（x）-F（x）=（x+2）-（x-2sinx）=2+2sinx≥0
所以g（x）≥F（x），因此直线l：y=x+2是曲线S：y=ax+bsinx的“上夹线”…（9分）
（3）方法一：h(x)=

x

2

+

sinx

4

，x₁为-

x

2

+

sinx

4

=0的根，即x₁=0，也即|x₃|＜1，|x₂|＜1…（10分）
而h′(x)=

x

2

+

cosx

4

＞0∴h(x)max=h(1)=

1

2

+

sinx

4

，h(x)min=h(-1)=-

1

2

-

sinx

4

∴|h(x3)-h(x2)|max=|h(1)-h(-1)|=1+

sin1

2

＜2…（13分）
所以存在这样最小正整数M=2使得|h（x₃）-h（x₂）|≤M恒成立．…（14分）
方法二：不妨设x₂＜x₃，因为h'（x）＞0，所以h（x）为增函数，所以h（x₂）＜h（x₃）
又因为h'（x）-1＜0，所以h（x）-x为减函数，所以h（x₂）-x₂＞h（x₃）-x₃所以0＜h（x₃）-h（x₂）＜x₃-x₂，…（11分）
即|h（x₃）-h（x₂）|＜|x₃-x₂|=|x₃-x₁-（x₂-x₁）|≤|x₃-x₁|+|x₂-x₁|＜2…（13分）
故存在最小正整数M=2，使得|h（x₃）-h（x₂）|≤M恒成立…（14分）

点评：考查函数的导数以及导数的应用：求函数的极值，最值判断极值存在的条件，本题中的（2）和（3）是一种新定义问题，如果对定义以及本题题意把握不准，难免会出差错，甚至无从下手，这就需要多角度分析，比如数形结合来分析，再者关键是深刻理解性定义，这样就能容易解答；第（3）问较为综合，是一类新颖的函数问题，解答本题转化与划归是精髓，另外结合要证明的不等式之特点，构造函数不失为一种好思维，好方法．