Question

已知函数f（x）=x（x-a）（x-b），点A（s，f（s）），B（t，f（t））．
（1）若a=0，b=3，函数f（x）在（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，求t的取值范围；
（2）当a=0时，

f(x)

x

+lnx+1≥0对任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，求b的取值范围；
（3）若0＜a＜b，函数f（x）在x=s和x=t处取得极值，且a+b＜2

3

，O是坐标原点，证明：直线OA与直线OB不可能垂直．

Answer 1

分析：（1）只要具体求出函数的极值点，让两个极值点在区间（t，t+3）即可；（2）把参数b分离出来，转化为求函数的最值；（3）把s，t用a，b表示，在假设垂直的条件下即可得到a，b的关系式，根据不等式只要证明a+b≥2

3

，即可根据反证法原理得到所证明的结论．考点：导数及其应用．

解答：（1）当a=0，b=3时，f（x）=x³-3x²，f'（x）=3x²-6x，令f'（x）=0得x=0，2，根据导数的符号可以得出函数f（x）在x=0处取得极大值，在x=2处取得极小值．函数f（x）在（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，则只要t＜0且t+3＞2即可，即只要-1＜t＜0即可．所以t的取值范围是（-1，0）．（4分）
（2）当a=0时，

f(x)

x

+lnx+1≥0对任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，即x²-bx+lnx+1≥0对任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，也即b≤x+

lnx

x

+

1

x

在对任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立．令g(x)=x+

lnx

x

+

1

x

，
则g′(x)=1+

1-lnx

x2

-

1

x2

=

x2-lnx

x2

．
记m（x）=x²-lnx，则m′(x)=2x-

1

x

=

2x2-1

x

，则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点x=

2

2

，故也是最小值点，所以m(x)≥m(

2

2

)=

1

2

-ln

2

2

＞0，从而g'（x）＞0，所以函数g（x）在[

1

2

，+∞)单调递增．函数g(x)min=g(

1

2

)=

5

2

-2ln2．故只要b≤

5

2

-2ln2即可．所以b的取值范围是(-∞，

5

2

-2ln2]．（8分）
（3）假设

OA

⊥

OB

，即

OA

•

OB

=0，即（s，f（s））•（t，f（t））=st+f（s）f（t）=0，故（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=-1，即[st-（s+t）a+a²][st-（s+t）b+b²]=-1．
由于s，t是方程f'（x）=0的两个根，故s+t=

2

3

(a+b)，st=

ab

3

，0＜a＜b．
代入上式得ab（a-b）²=9.(a+b)2=(a-b)2+4ab=

9

ab

+4ab≥2

36

=12，即a+b≥2

3

，与a+b＜2

3

矛盾，所以直线OA与直线OB不可能垂直．

点评：本题综合考查导数研究函数极值、单调性、最值等，考查反证法思想在解题中的应用．本题的难点是第三问，其关键是在等式（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=-1中，通过配项可以使用韦达定理消掉s，t得到关于a，b的等式，本题这个地方的技巧是极高的．