咸阳市2009年高考模拟考试试题
理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页。第Ⅱ卷3至8页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：
如果事件
、
互斥，那么
球的表面积公式
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
球的体积公式
如果事件A在一次实验中发生的概率是P，那么
V=
n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
（k=0，1，2，…，n）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 定义集合运算
，若
,
,则
=
A．M
B．N
C．
D．
2. 复数 
对应的点所位于的象限是
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
3．已知向量
,
,则
的值为
A． 
B． 
C．
D．
4．已知函数
的一段图象如图，则函数的解析式为
5．“等式
对
恒成立”是“函数
在
上为偶函数”的
充分不必要条件 
必要不充分条件 
充要条件
既不充分也不必要条件
6． 在
中，
分别是内角
的对边，如果 
,那么，三边满足的关系是
A. 
B. 
C. 
D. 
7. 已知成等比数列，则函数
与
轴的交点个数是
A. 0
B.
8．金太阳艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的1种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，现从中选出会钢琴和会小号的各1人，不同的选法种数是
A．１０ B．１
9．设
、
为两个不同的平面，
、
为两条不同的直线，且
，
，有如下的两个命题：①若
，则
；②若
，则
；那么
A． ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题
C． ①、②都是真命题 D. ①、②都是假命题
10． 如图,双曲线
，
为左焦点，
，当
时，双曲线被称为“黄金双曲线”。则其离心率
等于
A. 
B. 
C. 
D . 
11．若
满足
则
的取值范围为
12．两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如右图所示，则下列座位号码符合要求的应当是
A. 48,49 B. 62,63
C. 75,76 D. 84,85
第Ⅱ卷
二、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中的横线上.
13． 若
，则
被9除所得的余数为 ．
14． 单位正方体
，过
、
、
、
四点的球的表面积为 .
15. 若函数
，点P（x，y）在曲线
上运动，作PM垂直x轴于M，则△POM（O为坐标原点）周长的最小值是___________．
16．已知
，则有：
，
，
．若设：
，类比上例则可得到
与
的关系式为________
____.(只须写出一种即可)
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(本小题满分12分)
求
的值.
18．（本小题满分12分）
在一次考试中共有12道选择题，每道选择题都有４个选项，其中有且只有一个选项是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得５分，不选或选错得０分”．某考生已确定有8道题答案是正确的，其余题中：有两道只能分别判断２个选项是错误的，有一道仅能判断１个选项是错误的，还有一道因不理解题意只好乱猜，求：
（I）该考生得50分的概率；
（II）该考生所得分数的数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图，正方形ABCD的边长为4，PD⊥平面ABCD，PD＝6，M、N分别是PB、AB的中点．
（I）求证：MN⊥CD；
(II) 求二面角M－DN－C大小．
20．（本小题满分12分）
已知函数
与
，
(I)求
的单调区间；
（II）若
恰有两个不同的根，求实数的值.
21．（本小题满分12分）
已知在平面直角坐标系
中的一个椭圆，它的中心在原点，左准线为
,离心率
,设点
.
(I) 求该椭圆的标准方程；
(II) 过原点
的直线交椭圆于点
，求面积的最大值.
22．（本小题满分14分）
已知数列｛
｝满足
＝2，
．
（I）求数列｛｝的通项公式；
（II）设
，试推断是否存在常数A，B，C，使对一切
都有
＝
成立？若存在，求出A，B，C的值，若不存在，说明理由；
（III）求证：
．
咸阳市2009年高考模拟考试试题(一)
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
C
A
C
B
A
D
D
A/B
B
D
二、 填空题：
13． 8
14．（理）
（文）
15. 
16．
或 
或 
三、解答题： 答案仅供参考，其他解法参照给分
17．(本小题满分12分)
（理） 解：
(文) 解：（1）由两角和差公式及二倍角公式得
由
得
于是函数
的单调递增区间为
-------------6分
（2）由（1）知
再由
得------------------------8分
--------------------10分
所以函数的值域为
-------------------------12分
18．（本小题满分12分）
（理） 解：（1）该考生得50分的情况有三类;①在“两道只能分别判断２个选项是错误的”时，该两题竟然全选对后面两道题全选错，其概率为
；②在“两道只能分别判断２个选项是错误的”时，该两题竟然全选错后面两道题全选对，其概率为
；③在“两道只能分别判断２个选项是错误的”时，该两题只能选对一道后面两道题也只能一错一对，其概率为
，从而有
…………………………………4分
（2）用
表示所得分数，则可能的取值为40，45，50，55，60
∵
……………8分
∴的概率分布列为
40
45
50
55
60
P
…12分
（文） 解: (I)记“取到的4个球全是红球”为事件A，则
……………………… 4分
(II)记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B，“取到的4个球只有1个红球”为事件
由题意得
………………………6分
………………………8分
………………………10分
所以，
化简，得
解得
n=2，或
故n=2. ………………………12分
19．（本小题满分12分）
证明: （I）连结PA．
∵ PD⊥平面ABCD， CD⊥AD，
∴ PA⊥CD（三垂线定理）．………………2分
∵ M、N分别是PB、AB的中点，
∴ MN∥PA，
∴ MN⊥CD．………………………6分
（理）（II） 过点O作DN的垂线OE，垂足为E，连结ME．
∵ MO⊥平面ABCD，∴ ME⊥DN．
∴ ∠MEO就是二面角M－DN－C的平面角． ………………………9分
∵ △MOE中，∠MOE＝90°，MO＝3，OE＝
，
∴ 
．
故二面角M－DN－C的大小为
．………………………12分
（文）（II）设AC、BD交于点O．
∵ MO∥PD，
∴ MO⊥底面ABCD，且MO＝
PD＝3．
………………………9分
∵ N是AB的中点，
∴ 
， ∴
，
∴ 
………………………12分
20．（本小题满分12分）
（理） 解：（1）令
，
则
，---------------------------------------2分
由
得，
由
得，
---------------------------------4分
由
的定义域
知，
的单调递增区间为
；递减区间为
--------------------6分
（2） 令
,则函数
与
的图象有且只有两个不同的交点
与x轴正半轴有且只有两个不同的交点.对
求导数,得----------8分
.
又∵x→0时，
＜0,x→+∞时，＞0------------------------------------------10分
有两个不同正根的充要条件是
或
,解得m=7或m=
.---------------------------12分
也可由（1）知，函数在
处取得极值，若要恰有两不同的根，则必有
或
，所以有m=7或m=
（文）解：（Ⅰ）
，
---------------2分
-----------------------------------4分
又
故所求
。----------------------6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由
得，
，
由
得， 
，
故函数
的单调递增区间为
单调递减区间为
------8分
恒成立，
故函数在单调递增区间为
---------------10分
由得，
，
由得， 
，
故函数的单调递增区间为
单调递减区间为
----12分
21．（本小题满分12分）
（理）解：(1)由已知设椭圆方程为
，
则
---------------2分
a=2, c=
, b=1.---------------------------------4分
∴椭圆的标准方程为
----------------------------------------------6分
(2)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.
当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,
解得B(
,
),C(－,－),------------8分
则
,又点A到直线BC的距离d=
,
∴△ABC的面积S△ABC=
于是S△ABC=
----------------------------10分
由
≥－1,得S△ABC≤
,其中,当k=－时,等号成立.
∴S△ABC的最大值是.
-------------------------------12分
（文）解:（Ⅰ）设
，由
知，点C的轨迹为
．
由
消y，得 
．
设
，
，则
，
．………………………4分
所以，
，
所以 
，
于是 
．………………………………………………………6分
（Ⅱ）假设存在过点P的弦EF符合题意，则此弦的斜率不为零，设此弦所在直线的方程为
．
由
消x，得
．
设
，
，则
，
．…………………8分
因为过点P作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的2倍，所以 
，
即
， ……………………10分
所以 
，得 
．
所以，存在．………………………………………………………12分
22．（本小题满分14分）
（理 ）解:（I） 由已知，得 
，
即
， ………………………2分
所以数列｛
｝是公比为2的等比数列，首项为
＝2，
故
＝
. ………………………４分
也可以用累积法
（II） 因为
＝
,
若＝恒成立，则
恒成立，所以
………………………６分
解出 A＝1，B＝－4，C＝6．
故存在常数A，B，C满足条件. ………………………８分
（III）
＝(b2－b1)＋(b3－b2)＋(b4－b3)＋…＋(bn+1－bn)＝bn+1－b1
＝
＝ 
………………………11分
＜ 
＝
＝ 
＝ 
≤ 
．………………………14分
别证：可以应用数学归纳法．
（文） 解:（Ⅰ）
，
. ---------------4分
（Ⅱ）∵
，且
∴
.-------------------------------8分
（Ⅲ）设第
个图形的边数为
∴
，且
, ∴
.
∵第个图形的面积为
则
------------------------10分
=
=
∴
……
------------------------------------------12分
上述
个式子两边分别相加得：
]
∴
∴
-------------------------------------------------------------------14分
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