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    (III)求证:． 咸阳市2009年高考模拟考试试题(一) 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    设函数f(x)=
    2x
    x+1
    ，且a1=
    1
    2
    ，  an+1=f(an)    ，其中n=1，2，3，…．
    （I）计算a2，a3的值；
    （II）设a2=2，求证：数列{bn}为等比数列；
    （III）求证：
    1
    2
    ≤an＜1    ．

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    已知正方体ABCD-A1B1C1D1．
    （I）求CD1与平面ADD1A1所成角；
    （II）求证：CD1∥平面A1BD；
    （III）求证：平面ACC1A1⊥平面A1BD．

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    已知椭圆的中心是坐标原点O，它的短轴长为2，右焦点为F，右准线l与x轴相交于点E，
    FE
    =
    OF
    ，过点F的直线与椭圆相交于A，B两点，点C和点D在l上，且AD∥BC∥x轴．
    （I）求椭圆的方程及离心率；
    （II）当|BC|=
    1
    3
    |AD|    时，求直线AB的方程；
    （III）求证：直线AC经过线段EF的中点．

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    （2013•淄博二模）已知P（x，y）为函数y=1+lnx图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率k=f（x）．
    （I）若函数f（x）在区间(m，m+
    1
    3
    )    （m＞0）上存在极值，求实数m的取值范围；
    （II）当 x≥1时，不等式f(x)≥
    t
    x+1
    恒成立，求实数t的取值范围；
    （III）求证[（n+1）!]2＞（n+1）•en-2（n∈N*）．

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    函数f（x）=xlnx-ax2-x（a∈R）．
    （I）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
    （II）若函数f（x）的图象在直线y=-x图象的下方，求a的取值范围；
    （III）求证：20132012＜20122013．

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    一、选择题：

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    答案

    D

    B

    C

    A

    C

    B

    A

    D

    D

    A/B

    B

    D

     

    二、             填空题：

    13．  8             

    14．（理）（文）

    15.  

    16． 或      或

     

    三、解答题： 答案仅供参考，其他解法参照给分

    17．(本小题满分12分)

    （理） 解：

         

    (文) 解：（1）由两角和差公式及二倍角公式得

    由得

     

    于是函数的单调递增区间为-------------6分

    （2）由（1）知

         再由得------------------------8分

    --------------------10分

         所以函数的值域为-------------------------12分

      

    18．（本小题满分12分）

    （理） 解：（1）该考生得50分的情况有三类;①在“两道只能分别判断２个选项是错误的”时，该两题竟然全选对后面两道题全选错，其概率为；②在“两道只能分别判断２个选项是错误的”时，该两题竟然全选错后面两道题全选对，其概率为；③在“两道只能分别判断２个选项是错误的”时，该两题只能选对一道后面两道题也只能一错一对，其概率为，从而有

        …………………………………4分

    （2）用表示所得分数，则可能的取值为40，45，50，55，60

    ∵ 

                 

          

                  

        ……………8分

    ∴的概率分布列为 

    40

    45

    50

    55

    60

    P

                                                                                                

     

     

    …12分

     

    （文） 解: (I)记“取到的4个球全是红球”为事件A，则

     　　　　　　……………………… 4分

    (II)记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B，“取到的4个球只有1个红球”为事件

    由题意得

                       ………………………6分

     ………………………8分

                   ………………………10分

    所以，

    化简，得

    解得  n=2，或故n=2.  　　　　　 ………………………12分

     

    19．（本小题满分12分）

      证明: （I）连结PA．

    ∵　PD⊥平面ABCD，　CD⊥AD，

    ∴　PA⊥CD（三垂线定理）．………………2分

    ∵　M、N分别是PB、AB的中点，

    ∴　MN∥PA，

    ∴　MN⊥CD．………………………6分

    （理）（II） 过点O作DN的垂线OE，垂足为E，连结ME．

    ∵　MO⊥平面ABCD，∴　ME⊥DN．

    ∴　∠MEO就是二面角M－DN－C的平面角．   ………………………9分

    ∵　△MOE中，∠MOE＝90°，MO＝3，OE＝，

    ∴　．

    故二面角M－DN－C的大小为．………………………12分

      

    （文）（II）设AC、BD交于点O．

    ∵　MO∥PD，

    ∴　MO⊥底面ABCD，且MO＝PD＝3．

                                   ………………………9分

    ∵　N是AB的中点，

    ∴　 ，　　∴　 ，

    ∴　 ………………………12分

     

    20．（本小题满分12分）

    （理） 解：（1）令，

    则，---------------------------------------2分

          由得，

          由得，---------------------------------4分

    由的定义域知，

          的单调递增区间为；递减区间为--------------------6分

         （2） 令,则函数与的图象有且只有两个不同的交点与x轴正半轴有且只有两个不同的交点.对求导数,得----------8分

     .

       又∵x→0时，＜0,x→+∞时，＞0------------------------------------------10分

    有两个不同正根的充要条件是或

    ,解得m=7或m=.---------------------------12分

    也可由（1）知，函数在处取得极值，若要恰有两不同的根，则必有或，所以有m=7或m=

     

        

    （文）解：（Ⅰ），  ---------------2分

    -----------------------------------4分

     又

    故所求。----------------------6分

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知

     由得，，

    由得， ，

    故函数的单调递增区间为单调递减区间为------8分

     恒成立，

    故函数在单调递增区间为---------------10分

     由得，，

    由得， ，

    故函数的单调递增区间为单调递减区间为----12分

    21．（本小题满分12分）

    （理）解：(1)由已知设椭圆方程为，

    则 ---------------2分

    a=2,   c=,      b=1.---------------------------------4分

       ∴椭圆的标准方程为----------------------------------------------6分

    (2)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.

    当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,

    解得B(,),C(－,－),------------8分

    则,又点A到直线BC的距离d=,

    ∴△ABC的面积S△ABC=

    于是S△ABC=----------------------------10分

    由≥－1,得S△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立.

    ∴S△ABC的最大值是.     -------------------------------12分

     

    （文）解:（Ⅰ）设，由知，点C的轨迹为．

    由　消y，得　．

    设，，则，．………………………4分

    所以，，

    所以　，

    于是　　．………………………………………………………6分

    （Ⅱ）假设存在过点P的弦EF符合题意，则此弦的斜率不为零，设此弦所在直线的方程为．

    由　消x，得．

    设，，则，．…………………8分

    因为过点P作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的2倍，所以　，

    即，　　　　……………………10分

    所以　，得　．

    所以，存在．………………………………………………………12分

    　

    22．（本小题满分14分）

    （理 ）解:（I）　由已知，得　，

    即，　　　　　………………………2分

    所以数列｛｝是公比为2的等比数列，首项为＝2，

    故＝.　　　　　　　………………………４分

    也可以用累积法

    （II）　因为＝,

    若＝恒成立，则恒成立，所以

    　　　………………………６分

    解出　A＝1，B＝－4，C＝6．

    故存在常数A，B，C满足条件.　　　　　　 ………………………８分

    （III）＝(b2－b1)＋(b3－b2)＋(b4－b3)＋…＋(bn+1－bn)＝bn+1－b1

    　　　　　　＝

    ＝  　　　　　………………………11分

    ＜

    ＝

    ＝

    ＝  

    ≤ ．………………………14分

    别证：可以应用数学归纳法．

     

    （文） 解:（Ⅰ），.      ---------------4分

    （Ⅱ）∵，且  ∴.-------------------------------8分

    （Ⅲ）设第个图形的边数为

    ∴，且,  ∴ .

    ∵第个图形的面积为    则   ------------------------10分 

    ==

    ∴

                      ……

    ------------------------------------------12分

    上述个式子两边分别相加得：

    ]

    ∴                        

    ∴      -------------------------------------------------------------------14分


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